Bandpassfilter

Als Bandpass (auch Bandbreitenfilter) wird ein Filter bezeichnet, das in einem Signalweg nur die Frequenzen eines bestimmten Bereiches durchlässt und die Frequenzbereiche unterhalb bzw. oberhalb des Durchlassbereiches sperrt bzw. deutlich abschwächt. Ein Bandpass stellt das Gegenstück zur Bandsperre dar.

Je nach Anwendungsbereich handelt es sich dabei um optische, akustische oder elektrische Bandpassfilter. Ein spezieller, schmalbandiger elektrischer Bandpass ist das Bandfilter, welches unter anderem zur Kanaltrennung im Zwischenfrequenzverstärkern von Überlagerungsempfängern eingesetzt wird.

Eigenschaften

Betrag der Übertragungsfunktion

Der Durchlassbereich, welcher aus der Übertragungsfunktion ersichtlich ist, ist durch eine Bandbreite B um die Mittenfrequenz f₀ charakterisiert. Die Mittenfrequenz wird auch als Resonanzfrequenz bezeichnet und ist definiert als das geometrisches Mittel des Produkts von f_H und f_L:

$f_0 = \sqrt{f_H \cdot f_L}$

Die Bandbreite B des Filters stellt die Differenz zwischen der oberen Grenzfrequenz f_H und der unteren Grenzfrequenz f_L dar. Bei technischen Systemen wird als Wert wo der Übergang zwischen den Sperrbereich und dem Durchlassbereich erfolgt, üblicherweise eine Reduktion um 3 dB gegenüber den Maxiumwert definiert.

Bandpässe weisen mindestens eine Filterordnung von zwei auf. Bandpässe mit symmetrischer Übertragungsfunktion um die Mittenfrequenz f₀ weisen eine gerade Filterordnung auf.

Bandpass 2. Ordnung

Elektrischer LRC-Bandpass 2. Ordnung

Der einfachste Bandpass ist ein Bandpass 2. Ordnung, wie er als elektrisch passives Filter in nebenstehender Abbildung skizziert ist. Bandpässe 2. Ordnung weisen abseits des Durchlassbereichs eine Flankensteilheit von 20 dB pro Dekade auf und die Übertragungsfunktion mit den Werten der Bauelemente R, L und C lautet:

$H(s) = \frac{sRC}{1 + sRC + s^2LC} = \frac{s \cdot \frac{2D}{\omega_0}}{1 + s \cdot \frac{2D}{\omega_0} + s^2 \cdot \frac{1}{\omega_0^2}}$

Allgemein kann die Übertragungsfunktion auch durch einen Dämpfungsgrad D und der Resonanzkreisfrequenz ω₀ ausgedrückt werden. Der Zusammenhang zu der Bandbreite B und Resonanzfrequenz f₀ ist:

$B = 2D \cdot \frac{\omega_0}{2\pi}, \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$

Alternativ kann die Übertragungsfunktion auch mit einem Gütefaktor Q:

$Q = \frac{f_0}{B} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$

ausgedrückt werden. Für hohe Gütefaktoren Q ergeben sich dann schmalbandige Bandfilter.

Bandpässe höherer Ordnung

Passiver Bandpass höherer Ordnung in T-Topologie

Bandpassfilter höher Ordnung weisen im Sperrbereich steilere Filterflanken auf und können im Gegensatz zu den Bandfiltern 2. Ordnung im Durchlassbereich einen flacheren Verlauf des Betragsfrequenzganges aufweisen. Die Übertragungsfunktion für einen Bandpass 4. Ordnung lautet beispielsweise:

$H(s) = \frac{a_1 s^2}{1 + b_1 s + b_2 s^2 + b_3 s^3 + s^4}$

mit den allgemeinen Koeffizienten a₁, b₁, b₂ und b₃.

Anwendungsbereiche

Elektronik

In der Elektronik werden kontinuierliche Bandpassfilter als aktive oder passive Filter angewendet. Elektrische Bandpassfilter können als eine rückwirkungsfreie Kombination von einem Hochpass und einem Tiefpass ausgedrückt werden. Als Bauelemente kommen dabei Kondensatoren, Widerständen und Spulen vor, bei aktiven Bandpässen werden zusätzlich meist Operationsverstärker eingesetzt. Die Dimensionierung kann sich an dem Filterentwurf von Tiefpassfiltern orientieren, wobei der Bandpass mit gerader Filterordnung durch eine Tiefpass-Bandpass-Transformation gebildet wird.

Weitere Anwendungen liegen im Bereich der digitale Signalverarbeitung wo Bandpässe als zeitdiskretes Filter eingesetzt werden. Die quantisierten Filterkoeffizienten für das digitale Bandpassfilter können beispielsweise durch die bilineare Transformation aus dem zeitkontinuierlichen, analogen Filter gewonnen werden.

Bandfilter aus zwei magnetisch gekoppelten Schwingkreisen

Im Bereich der Hochfrequenz spielt das Phänomen der Resonanz eine wesentliche Rolle. Es wird dabei das Frequenzverhalten von Schwingkreisen ausgenutzt, die bei ihrer Resonanzfrequenz hochohmig (Parallelschwingkreis) bzw. niederohmig (Serienschwingkreis) werden.

Zu den Bandpassfilter zählen auch die Terzfilter und Oktavfilter, die einen bestimmten Frequenzbereich durchlassen und genormte Übertragungsfunktionen mit sehr steilen Flanken besitzen. Nach dem Superhet-Prinzip arbeitende Radio- und Fernsehempfänger verwenden als Bandfilter bezeichnete Bandpassfilter zur Frequenzselektion auf Zwischenfrequenzebene. Mehrere solcher Bandfilter wurden jeweils mit einer Verstärkerstufe versehen und hintereinander geschalten, um die nötige Trennschärfe zu erreichen.

Im Mikrowellenbereich bestehen Bandpässe oft aus Streifenleitern oder auch aus Löchern und Schlitzen in beziehungsweise zwischen Hohlleitern.

Lautsprecher

Als Bandpasslautsprecher wird ein Lautsprechergehäuse bezeichnet, dass aus einem geschlossen Gehäuse und einem Bassreflex-Gehäuse besteht. Der Lautsprecher hat keine direkte Kopplung zum Schallraum, der komplette Schall wird über die „Reflexöffnung“ abgegeben.

Durch das Bandpassgehäuse entsteht in einem gewissen Wellenlängenbereich eine Anhebung des Schallpegels, hervorgerufen durch den im umschließenden Gehäuse entstehenden Helmholtz-Resonator.

Optik

Bandpässe für optische Wellenlängen sind Farbfilter. Sie bestehen häufig aus Interferenzfiltern und können sehr schmalbandig ausgeführt werden. Ein weiterer verstellbarer, schmalbandiger optischer Bandpass ist der Monochromator.

Auch die sogenannten Bayer-Filter, die vor jedem Pixel eines Farb-Bildsensors die entsprechende Grundfarbe (Rot, Grün, Blau) passieren lassen, sind Interferenzfilter.

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12 Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42849-6. 
• B. A. Shenoi: Introduction to Digital Signal Processing and Filter Design. Wiley Interscience, 2006, ISBN 0-471-46482-1. 

Weblinks

• kostenloses Programm zur Erstellung verschiedener Filter und deren Schaltungen mit Operationsverstärkern
• Wichtigste Definitionen zu optischen Bandpass-Filtern