Träger-Rausch-Verhältnis

Das Signal-Rausch-Verhältnis (auch Störabstand a bzw. (Signal-)Rauschabstand a_R, oft auch abgekürzt als SRV beziehungsweise SNR oder S/N vom Englischen signal-to-noise ratio) ist ein Maß für die technische Qualität eines aus einer Quelle stammenden Nutzsignals, das von einem Rauschsignal überlagert ist. Es ist definiert als das Verhältnis der mittleren Leistung des Nutzsignals der Signalquelle zur mittleren Rauschleistung des Störsignals der gleichen Signalquelle.

SNR (Signal to Noise Ratio) ist ein Begriff aus der Nachrichtentechnik, Akustik oder auch Automatisierungstechnik. In der elektromagnetischen Verträglichkeit gilt der Störabstand als Gütekriterium einer Signalübertragung ^[1]. Verwandte Größen sind das Träger-Rauschverhältnis C/N, das Träger-Interferenzverhältnis C/I bzw. C/(I+N).

Anwendungen

• Als Bewertungszahl dient das Signal-Rausch-Verhältnis zur Beurteilung der Qualität eines Kommunikationspfades. Um die Information sicher aus dem Signal extrahieren zu können, muss sich das Nutzsignal deutlich vom Hintergrundrauschen abheben. Fällt die SNR, steigt die Fehlerrate.
• Als Kennwert eines Empfängers charakterisiert die SNR, wann der Empfänger Rauschen vom Signal unterscheiden kann. Für einen Menschen ist in einem verrauschten Signal eine SNR von mindestens ca. 6 dB erforderlich, um darin enthaltene Sprache heraushören zu können.
• Die SNR wird auch verwendet, um Analog/Digital-Umsetzer zu bewerten. Der Quantisierungsfehler wird hierbei als Rauschen aufgefasst und kann zum Signal ins Verhältnis gesetzt werden. Liegt ein lineares System vor, so kann diese Wert auch verwendet werden, um die effektive Anzahl von Bits zu bestimmen.

Definition Störabstand (SNR)

Das Signal-Rausch-Verhältnis ist definiert als das Verhältnis der vorhandenen mittleren Signalleistung zur vorhanden mittleren Rauschleistung, wobei der Ursprung der Rauschleistung nicht berücksichtigt wird.

Als Verhältnis von Größen gleicher Maßeinheit ist das Signal-Rausch-Verhältnis dimensionslos. Es ist also:

$\mathrm{SNR} = \frac{\mbox{Nutzsignalleistung}}{\mbox{Rauschleistung}} = \frac{{P_{v,S} }}{{P_{v,N} }}$

Da aber die Signalleistung bei vielen technischen Anwendungen um mehrere Größenordnungen größer ist als die Rauschleistung, wird das Signal-Rausch-Verhältnis oft im logarithmischen Maßstab dargestellt. Man benutzt dazu die Pseudoeinheit Bel (B) beziehungsweise Dezibel (dB).

$\left. \mathrm{SNR} \right|_{\mathrm{dB}} = 10\;\lg \left( \frac{\mbox{Nutzsignalleistung}}{\mbox{Rauschleistung}} \right) = 10\;\lg \left( \frac{{P_{v,S} }}{{P_{v,N} }} \right)$

Bei Modulationsverfahren wie Phasenmodulation oder Frequenzmodulation lassen sich Signal und Träger nicht voneinander trennen. Deshalb bezieht man dort das Rauschen nicht auf das Signal S, sondern den Träger C (engl. carrier). Das Verhältnis heißt carrier to noise ratio, kurz C/N. Neben dem Rauschen können auch Interferenzen I das Signal überlagern. Dabei kann das Signal sowohl mit sich selbst durch Mehrwegeempfang, verursacht durch Reflexionen, interferieren, als auch mit ähnlichen Signalen, beispielsweise von Nachbarfunkzellen beim Mobilfunk. Je nachdem, ob die Rauschleistung mit berücksichtigt wird, kürzt man das Verhältnis ab als C/I oder C/(I+N).

Definition PSNR

Wird ein Bild/Video komprimiert übertragen, muss es an der Empfängerseite dekomprimiert und dargestellt werden. Als Qualitätszahl für diese Dekomprimierung/Darstellung wird das PSNR (Peak signal to noise ratio) verwendet. Typische Werte sind 30 bis 40 dB.

Als Störwert wird üblicherweise die mittlere quadratische Abweichung (mean squared error, mse) verwendet, die für zwei m×n Schwarz-Weiß-Bilder I und K, eines davon das Original, das andere die gestörte Annäherung (z. B. durch komprimieren und dekomprimieren), folgendermaßen angegeben wird:

$\mathit{mse} = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1} ||I(i,j) - K(i,j)||^2$

Der Störabstand ist damit definiert als:

$\mathit{psnr} = 10 \cdot \lg \frac{I_{\mathrm{max}}^2}{\mathit{mse}} = 20 \cdot \lg \frac{I_{\mathrm{max}}}{\sqrt{\mathit{mse}}}$

I_max ist die maximale Intensität. Bei einem Bild ist das der maximale Pixelwert. Werden 8 Bit zur Darstellung eines abgetasteten Wertes verwendet, sind das 255. Falls lineares PCM verwendet wird, sind das im Allgemeinen B Bits für einen abgetasteten Wert. Der maximale Wert von I_max ist dann 2^B-1.

Für Farbbilder mit drei RGB-Werten pro Pixel ist die Definition des psnr dieselbe. mse ist die Summe über alle Differenzwerte dividiert durch die Bildgrösse und dividiert durch 3.

Diese Metrik ignoriert jedoch viele Effekte im visuellen System, andere Metriken sind SSIM und DVQ ^[2]

Rauschleistungsverhältnis

Die Rauschleistung ergibt sich als Integration der spektralen Leistungsdichte über die Bandbreite der Verstärker- und Filterketten.

Einheiten der Rauschleistung sind unter anderem: dBa, dBa(F1A), dBa(HA1), dBa0, dBm, dBm(psoph), dBm0, dBm0P, dBrn, dBrnC, dBrn(f 1 -f 2), dBrn(144-line), pW, pWp, and pWp0.

Rauschspannungsverhältnis

Bei niedrigen Frequenzen und schmalbandiger elektromagnetischer Nutzsignal- und Rauschleistung können Signal-Rausch-Verhältnisse über effektive Spannungs- oder Stromamplituden ausgedrückt werden (→ Rauschspannung). Das ist z. B. in der Audiotechnik üblich. Da die verfügbare Leistung in diesem Fall dem Quadrat des Effektivwerts der Spannung proportional ist, gilt:

$\mathrm{SNR} = \frac{P_{v,S}}{P_{v,N}} = \frac{u_{\mathrm{eff},S}^2}{u_{\mathrm{eff},N}^2}$

woraus folgt:

$\left. \mathrm{SNR} \right|_{\mathrm{dB}} = 10\;\lg \left( \frac{P_{v,S}}{P_{v,N}} \right) = 10\;\lg \left(\frac{u_{\mathrm{eff},S}^2 }{u_{\mathrm{eff},N}^2} \right) = 20\;\lg \left(\frac{u_{\mathrm{eff},S}}{u_{\mathrm{eff},N}} \right)$

Funkstrecke

Das Signal-Rauschverhältnis C/N einer Funkstrecke verbessert sich mit der Sendeleistung P_t und der Antennenverstärkung G_t und G_r von Sender und Empfänger. Sie verringert sich mit der Rauschleistung, dem Produkt aus Rauschtemperatur T und Bandbreite B. Zusätzlich nimmt sie mit der Freiraumdämpfung F = 4*π*R/λ ab. R ist der Abstand, λ die Wellenlänge:

C/N = P_t * G_t * G_r /(k * T * B) / F

Ein Umstellen der Größen liefert den Zusammenhang zwischen Signal-Rauschverhältnis und Empfangsgüte G/T.

Verbesserung der SNR

Je mehr über das Nutzsignal bekannt ist, desto stärker lässt sich die SNR anheben.

Mögliche Verfahren:

Anheben der Signalstärke

Bei konstantem Rauschanteil steigt die SNR, wenn man das Nutzsignal vergrößert. In einer lärmenden Menschenmenge ist Flüstern kaum zu verstehen, während lautes Rufen deutlich wahrzunehmen ist.

Kompressor/Expander-Systemen

Bei konstantem Rauschen (z. B. eines Magnetbands) ist die SNR für kleine Signale sehr klein. Kompressor/Expander-Systemen, die sogenannten Kompander, reduzieren deshalb den Dynamikbereich. Beispielsweise werden beim System Dolby leise Abschnitte mit überhöhter Lautstärke aufgenommen. Das Verfahren stellt sicher, dass sich das System bei der Wiedergabe an die richtige Lautstärke erinnert.

Filtern

Rauschen tritt im gesamten Frequenzspektrum auf. Um es zu begrenzen, filtert man es außerhalb der Bandbreite des Systems aus. Beispielsweise sorgt beim Telefon ein Tiefpassfilter dafür, dass die Frequenzen oberhalb von ca. 3 kHz unterdrückt werden.

Bei digitalen Übertragungsverfahren (z. B. Telefonmodem, jegliche Art von digitaler drahtloser Datenübertragung) wird im Empfänger zur Optimierung der SNR ein signalangepasstes Filter (engl. matched filter) verwendet. Vereinfacht gesprochen wird im Empfänger die gleiche Filtercharakteristik angewendet wie im Sender. Häufig findet hier ein Root Raised Cosine Filter Verwendung.

Autokorrelation

Ist man nicht am gesamten Signal interessiert, sondern beispielsweise nur an dessen Frequenz, kann man das Signal durch Autokorrelation verstärken.

Obwohl das Rauschen deutlich gemindert wird, wird auch das Nutzsignal abgeschwächt. Mit dieser Methode kann man die Cramer-Rao-Grenze nicht unterschreiten.

Die Cramer-Rao-Grenze gibt die Mindestgröße für die Frequenzunsicherheit in Abhängigkeit von der Abtastfrequenz, der Anzahl der vorhandenen Signalperioden und dem SNR an.

Mittelung

Durch mehrfaches Senden einer Information lässt sich das Rauschen reduzieren. Da Rauschen stochastisch auftritt, wächst die Standardabweichung des Rauschsignals bei Summation von n Übertragungen nur um den Faktor $\sqrt{n}$, während das Signal um den Faktor n zunimmt. Das SNR bezogen auf die Signalamplituden (und nicht auf die Leistung; diese Konvention ist beispielsweise in der Bildverarbeitung üblich) steigert sich um $\frac{n}{\sqrt{n}}= \sqrt{n}$. Dies ergibt sich aus dem zentralen Grenzwertsatz.

Verrauschtes Bild (links), 2-fach und 8-fach gemittelt.

Das Teilbild links ist eines von 8 Bildern, die mit einer gaußschen Unschärfe von ca. 80 Grauwertunterschieden verrauscht wurden. Das Ergebnis der Mittelung zweier Bilder zeigt das mittlere Teilbild. Die SNR hat von ca. 6 dB um $\sqrt{2}$ auf 7 dB zugenommen. Nach der Summation von 8 Bildern, rechtes Teilbild, steigt es um $\sqrt{8}$ auf ca. 10 dB.

Die SNR der Bilder wurde aus dem Verhältnis von Kontrastumfang des Bildes und Streuung eines kontrastarmen Teilbereichs bestimmt.

Informationsübertragung

Die SNR bestimmt, wie verlässlich Analog-Informationen über einen Sendekanal übertragen werden können. Ihm entspricht bei der Digitalübertragung die Bitfehlerrate.

Literatur

• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, München Wien, 2006, ISBN 3-486-57866-9
• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker Band 2. 13. Auflage, Hüthing und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg, 1981, ISBN 3-7785-0699-4
• Thomas Görne: Tontechnik. 1. Auflage, Carl Hanser Verlag, Leipzig, 2006, ISBN 3-446-40198-9
• Hubert Henle: Das Tonstudio Handbuch. 5.Auflage, GC Carstensen Verlag, München, 2001, ISBN 3-910098-19-3
• Thomas Görne: Mikrofone in Theorie und Praxis. 8. Auflage, Elektor-Verlag, Aachen, 2007, ISBN 978-3-89576-189-8

Fußnoten und Einzelnachweise

1. ↑ Joachim Franz: EMV, Störungssicherer Aufbau elektronischer Schaltungen, Teubner-Verlag, 1. Auflage, 2002, ISBN 3-519-00397-X, Kapitel 2.3 Der Störabstand als Gütekriterium, Seite 9–10
2. ↑ PSNR, Gleitz DVDWiki, 2007-01-06.

siehe auch

• Dynamik
• Fremdspannungsabstand
• Geräuschspannungsabstand und Ruhegeräuschspannungsabstand
• Quantisierungsrauschabstand

Weblinks

• Berechnung der Rauschspannung in Mikrovolt, sowie Rauschpegel in dBu und dBV – Thermisches Rauschen
• Simulation Signal-Rausch-Abstand
• R. J. Mohr über Empfänger-Rauschen – eng. (PDF; 456 KB)