Signal-Rausch-Verhältnis

Das Signal-Rausch-Verhältnis (auch Störabstand a oder (Signal-)Rauschabstand a_R, abgekürzt SRV oder S/R beziehungsweise SNR oder S/N von englisch signal-to-noise ratio) ist ein Maß für die technische Qualität eines Nutzsignals, das von einem Rauschsignal überlagert ist. Es ist definiert als das Verhältnis der mittleren Leistung des Nutzsignals zur mittleren Rauschleistung des Störsignals.

Das SNR ist ein Begriff aus der Hochfrequenz-, Mess- und Nachrichtentechnik sowie der Akustik, der auch in vielen weiteren Bereichen wie etwa der Automatisierungstechnik oder der Signal- und Bildverarbeitung verwendet wird. Verwandte Größen sind das Spitzen-Signal-Rausch-Verhältnis (PSNR), das Träger-Rausch-Verhältnis (C/N) und das Träger-Interferenz-Verhältnis (C/(I+N) oder C/I).

Anwendungen

• Das Signal-Rausch-Verhältnis dient als Bewertungszahl zur Beurteilung der Qualität eines (analogen) Kommunikationspfades. Um die Information sicher aus dem Signal extrahieren zu können, muss sich das Nutzsignal deutlich vom Hintergrundrauschen abheben, das SNR muss also ausreichend groß sein. Fällt das SNR, steigt die Fehlerrate. Dem SNR entspricht bei der Digitalübertragung die Bitfehlerrate.
• Als Kennwert eines Empfängers charakterisiert das SNR, wann der Empfänger Rauschen vom Signal unterscheiden kann. Für einen Menschen ist in einem verrauschten Signal ein SNR von mindestens ca. 6 dB erforderlich, um darin enthaltene Sprache heraushören zu können.
• Das SNR wird auch verwendet, um Analog-Digital-Umsetzer zu bewerten. Der Quantisierungsfehler wird hierbei als Rauschen aufgefasst und kann zum Signal ins Verhältnis gesetzt werden. Liegt ein lineares System vor, so kann dieser Wert auch verwendet werden, um die effektive Anzahl von Bits zu bestimmen.
• In der elektromagnetischen Verträglichkeit gilt der Störabstand als Gütekriterium einer Signalübertragung.^[1]

Definition

Das Signal-Rausch-Verhältnis ist definiert als das Verhältnis der vorhandenen mittleren Signalleistung P_Signal zur vorhandenen mittleren Rauschleistung P_Rauschen (dem Integral der spektralen Rauschleistungsdichte über die Bandbreite), wobei der Ursprung der Rauschleistung nicht berücksichtigt wird.

Als Verhältnis von Größen gleicher Maßeinheit ist das Signal-Rausch-Verhältnis dimensionslos. Es ist also:

$\mathrm{SNR} = \frac{\mbox{Nutzsignalleistung}}{\mbox{Rauschleistung}} = \frac{P_\text{Signal}}{P_\text{Rauschen}}$

Da aber die Signalleistung bei vielen technischen Anwendungen um mehrere Größenordnungen größer ist als die Rauschleistung, wird das Signal-Rausch-Verhältnis oft im logarithmischen Maßstab dargestellt. Man benutzt dazu die Pseudoeinheit Dezibel (dB):

$\mathrm{SNR} = 10\;\lg \left( \frac{\mbox{Nutzsignalleistung}}{\mbox{Rauschleistung}} \right) \text{dB} = 10\;\lg \left( \frac{{P_\text{Signal} }}{{P_\text{Rauschen} }} \right) \text{dB}$

Rauschspannungsverhältnis

Bei niedrigen Frequenzen und schmalbandiger elektromagnetischer Nutzsignal- und Rauschleistung können Signal-Rausch-Verhältnisse über effektive Spannungs- oder Stromamplituden ausgedrückt werden (→ Rauschspannung). Das ist z. B. in der Audiotechnik üblich. Da die verfügbaren Leistungen in diesem Fall dem Quadrat des Effektivwerts der Spannungen (u_eff,Signal, u_eff,Rauschen) proportional ist, gilt:

$\mathrm{SNR} = \frac{P_\text{Signal}}{P_\text{Rauschen}} = \frac{u_\mathrm{eff,Signal}^2}{u_\mathrm{eff,Rauschen}^2}$

woraus folgt:

$\mathrm{SNR} = 10\;\lg \left( \frac{P_\text{Signal}}{P_\text{Rauschen}} \right) \text{dB} = 10\;\lg \left(\frac{u_\mathrm{eff, Signal}^2 }{u_\mathrm{eff, Rauschen}^2} \right) \text{dB} = 20\;\lg \left(\frac{u_\mathrm{eff, Signal}}{u_\mathrm{eff, Rauschen}} \right) \text{dB}$

Alternative Definition

Eine alternative Definition des Signal-Rausch-Verhältnisses wird überwiegend beispielsweise in der Spektroskopie oder der Bildverarbeitung (insbesondere in der medizinischen Bildgebung) verwendet. Hier ist das SNR definiert als Verhältnis der mittleren Signalamplitude A_Signal (anstelle der Leistung) und der Standardabweichung σ_Rauschen des Rauschens:^[2][3]

$\text{SNR} = \frac{\mbox{Nutzsignalamplitude}}{\mbox{Rausch-Standardabweichung}} = \frac{A_\text{Signal}}{\sigma_\text{Rauschen}}$

Dies ist von der vorhergehenden Definition auf Basis der Spannungsamplituden zu unterscheiden, da dort zunächst die Leistung mittels der quadrierten Amplituden berechnet wird, während hier das nicht-quadrierte Amplitudenverhältnis zugrundeliegt. Bei Verwendung dieser Definition ist auch die Umrechnung in Dezibel weniger häufig zu finden; das SNR wird meist als einheitenlose Größe der Dimension 1 angegeben.

Träger-Rausch- und Träger-Interferenz-Verhältnis

Bei Modulationsverfahren wie der Phasenmodulation oder Frequenzmodulation lassen sich Signal- und Trägerleistung nicht voneinander trennen. Deshalb bezieht man dort das Rauschen nicht auf das Signal S, sondern den Träger C (engl. carrier). Das Verhältnis heißt Träger-Rausch-Verhältnis (engl. carrier-to-noise ratio, kurz C/N). Neben dem Rauschen können auch Interferenzen I das Signal überlagern. Dabei kann das Signal sowohl mit sich selbst durch Mehrwegeempfang, verursacht durch Reflexionen, interferieren, als auch mit ähnlichen Signalen, beispielsweise von Nachbarfunkzellen beim Mobilfunk. Je nachdem, ob die Rauschleistung mit berücksichtigt wird, kürzt man das Träger-Interferenz-Verhältnis ab als C/I oder C/(I+N).

Funkstrecke

Das Träger-Rausch-Verhältnis C/N einer Funkstrecke verbessert sich mit der Sendeleistung P_t und den Antennengewinnen G_t und G_r von Sender und Empfänger. Sie verringert sich mit der Rauschleistung, dem Produkt aus Boltzmann-Konstante k, Rauschtemperatur T und Bandbreite B. Zusätzlich nimmt sie mit der Freiraumdämpfung F = (4π·R/λ)² ab (R ist der Abstand, λ die Wellenlänge):

$C/N = \frac{G_\text{r} \cdot G_\text{t} \cdot P_\text{t}}{k \cdot T \cdot B \cdot F}$

Ein Umstellen der Größen liefert den Zusammenhang zwischen Träger-Rausch-Verhältnis und Empfangsgüte (G/T).

Spitzen-Signal-Rausch-Verhältnis (PSNR)

Wird ein Bild oder Video komprimiert übertragen, muss es an der Empfängerseite dekomprimiert und dargestellt werden. Als Kenngröße für die Qualität dieser Übertragung wird das Spitzen-Signal-Rausch-Verhältnis (PSNR von engl. peak-signal-to-noise ratio) verwendet. Typische Werte sind 30 bis 40 dB.

Als Störwert wird üblicherweise die mittlere quadratische Abweichung (engl. mean squared error, MSE) verwendet, die für zwei m×n-Schwarz-Weiß-Bilder I und K, eines davon das Original, das andere die gestörte Annäherung (z. B. durch (verlustbehaftetes) Komprimieren und Dekomprimieren), folgendermaßen angegeben wird:

$\text{MSE} = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1} ||I(i,j) - K(i,j)||^2$

Das PSNR ist damit definiert als:

$\text{PSNR} = 10 \cdot \lg \frac{I_\max^2}{\text{MSE}}\,\text{dB} = 20 \cdot \lg \frac{I_\max}{\sqrt{\text{MSE}}}\,\text{dB}$

I_max ist die maximal mögliche Signalintensität (bei einem Bild der maximal mögliche Pixelwert). Werden 8 Bit zur Darstellung eines abgetasteten Wertes verwendet, ist das 255. Falls mit linearer Puls-Code-Modulation (PCM) gearbeitet wird, sind das im Allgemeinen B Bits für einen abgetasteten Wert; der maximale Wert von I_max ist dann 2^B−1.

Für Farbbilder mit drei RGB-Werten pro Pixel ist die Definition des PSNR dieselbe; die MSE ist dann die Summe über alle Differenzwerte dividiert durch die Bildgröße und dividiert durch 3.

Diese Metrik ignoriert jedoch viele Effekte im visuellen System des Menschen, andere Metriken sind structural similarity (SSIM, englisch für „strukturelle Ähnlichkeit“) und DVQ.^[4]

Verbesserung des SNR

Je mehr über das Nutzsignal bekannt ist, desto stärker lässt sich das SNR anheben. Einige Verfahren zur SNR-Verbesserung sind in den folgenden Abschnitten aufgezählt.

Anheben der Signalstärke

Bei konstantem Rauschanteil steigt die SNR, wenn man das Nutzsignal vergrößert. In einer lärmenden Menschenmenge ist Flüstern kaum zu verstehen, während lautes Rufen deutlich wahrzunehmen ist.

Kompressor/Expander-Systemen

Bei konstantem Rauschen (z. B. eines Magnetbands) ist das SNR für kleine Signale sehr klein. Kompressor/Expander-Systemen, die sogenannten Kompander, reduzieren deshalb den Dynamikbereich. Beispielsweise werden beim System Dolby leise Abschnitte mit überhöhter Lautstärke aufgenommen. Das Verfahren stellt sicher, dass sich das System bei der Wiedergabe an die richtige Lautstärke erinnert.

Filtern

Rauschen tritt im gesamten Frequenzspektrum auf. Um es zu begrenzen, filtert man es außerhalb der Bandbreite des Systems aus. Beispielsweise sorgt beim Telefon ein Tiefpassfilter dafür, dass die Frequenzen oberhalb von ca. 3 kHz unterdrückt werden.

Bei digitalen Übertragungsverfahren (z. B. Telefonmodem, jegliche Art von digitaler drahtloser Datenübertragung) wird im Empfänger zur Optimierung des SNRs ein signalangepasstes Filter (engl. matched filter) verwendet. Vereinfacht gesprochen wird im Empfänger die gleiche Filtercharakteristik angewendet wie im Sender. Häufig findet hier ein Root-Raised-Cosine-Filter Verwendung.

Autokorrelation

Ist man nicht am gesamten Signal interessiert, sondern beispielsweise nur an dessen Frequenz, kann man das Signal durch Autokorrelation verstärken.

Obwohl das Rauschen deutlich gemindert wird, wird auch das Nutzsignal abgeschwächt. Mit dieser Methode kann man die Cramer-Rao-Grenze nicht unterschreiten.

Die Cramer-Rao-Grenze gibt die Mindestgröße für die Frequenzunsicherheit in Abhängigkeit von der Abtastfrequenz, der Anzahl der vorhandenen Signalperioden und dem SNR an.

Mittelung

Durch mehrfaches Senden einer Information lässt sich das Rauschen reduzieren. Da Rauschen stochastisch auftritt, wächst die Standardabweichung des Rauschsignals bei Summation von n Übertragungen nur um den Faktor $\sqrt{n}$, während das Signal um den Faktor n zunimmt. Das SNR bezogen auf die Signalamplituden (eine übliche Konvention in der Bildverarbeitung) steigert sich um $\frac{n}{\sqrt{n}}= \sqrt{n}$. Dies ergibt sich aus dem zentralen Grenzwertsatz.

Verrauschtes Bild (links), 2-fach und 8-fach gemittelt.

Das Teilbild links ist eines von 8 Bildern, die mit einer gaußschen Unschärfe von ca. 80 Grauwertunterschieden verrauscht wurden. Das Ergebnis der Mittelung zweier Bilder zeigt das mittlere Teilbild. Die SNR hat von ca. 6 dB um $\sqrt{2}$ auf 7 dB zugenommen. Nach der Summation von 8 Bildern, rechtes Teilbild, steigt es um $\sqrt{8}$ auf ca. 10 dB.

Das SNR der Bilder wurde aus dem Verhältnis von Kontrastumfang des Bildes und Streuung eines kontrastarmen Teilbereichs bestimmt.

Literatur

• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage. Oldenbourg Verlag, München Wien 2006, ISBN 3-486-57866-9 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker. 13. Auflage. Bd. 2, Hüthig und Pflaum Verlag, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.
• Thomas Görne: Tontechnik. Carl Hanser Verlag, Leipzig 2006, ISBN 3-446-40198-9 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
• Hubert Henle: Das Tonstudio Handbuch. 5. Auflage. GC Carstensen Verlag, München 2001, ISBN 3-910098-19-3.
• Thomas Görne: Mikrofone in Theorie und Praxis. 8. Auflage. Elektor-Verlag, Aachen 2007, ISBN 978-3-89576-189-8.

Fußnoten und Einzelnachweise

1. ↑ Joachim Franz: EMV, Störungssicherer Aufbau elektronischer Schaltungen. Teubner-Verlag, Stuttgart Leipzig Wiesbaden 2002, ISBN 3-519-00397-X, Kapitel 2.3 Der Störabstand als Gütekriterium, S. 9–10 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
2. ↑ D. J. Schroeder: Astronomical optics. 2. Auflage. Academic Press, 1999, ISBN 0-12-629810-6, S. 433 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
3. ↑ Bushberg, J. T., et al.: The Essential Physics of Medical Imaging. Lippincott Williams & Wilkins, Philadelphia 2006, ISBN 0-683-30118-7, S. 278 (Eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
4. ↑ DVQ: A digital video quality metric based on human vision

Siehe auch

• Dynamikumfang
• Signalpegeldifferenz
• Fremdspannungsabstand
• Geräuschspannungsabstand
• Quantisierungsrauschen

Weblinks

• Berechnung der Rauschspannung in Mikrovolt, sowie Rauschpegel in dBu und dBV – Thermisches Rauschen
• Simulation Signal-Rausch-Abstand
• R. J. Mohr über Empfänger-Rauschen – eng. (PDF; 456 KB)