Volumenelement

Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Beispiele

Kartesische Koordinaten:		$dV=dx\cdot\ dy\cdot\ dz$
Polarkoordinaten:		$dV=\rho\cdot\ d\rho\cdot\ d\varphi\cdot\ dz$
Kugelkoordinaten:		$dV=\ r^2\cdot\ \sin\theta\cdot\ dr\cdot\ d\varphi\cdot\ d\theta$

Mathematische Definition

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine Differentialform vom Grad n. Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit Volumenformen

Ist ω eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit M und f eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

$\int_M f\cdot\omega$

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien $x_1,\ldots,x_n$ lokale Koordinaten, so dass

$\frac\partial{\partial x_1},\ldots,\frac\partial{\partial x_n}$

positiv orientiert ist. Dann kann man $f\cdot\omega$ im Kartengebiet als

$g\cdot\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n$

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von g. Für das Integral über ganz M kann eine Partition der Eins verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.