Krummliniges Koordinatensystem

Es gibt zwei bekannte und gebräuchliche Darstellungen von Vektoren in krummlinigen Koordinaten, die beide zu den orthogonale Koordinatensystemen zählen:

• ebene Polarkoordinaten (2D) bzw. deren 3-dimensionale Entsprechung, die Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten, auch sphärische Koordinaten genannt (3D)

Transformation von kartesischen Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten x_i lassen sich als Funktionen neuer Koordinaten u_i schreiben:

$x_{1}=x_{1}\left( u_{1},u_{2},u_{3} \right)\$,     $x_{2}=x_{2}\left( u_{1},u_{2},u_{3} \right)\$,     $x_{3}=x_{3}\left( u_{1},u_{2},u_{3} \right)$

Dies stellt ein Gleichungssystem dar, das nach den u_i auflösbar ist, wenn die Funktionaldeterminante ungleich null ist:

$\det \frac{\partial (x_{1},x_{2},x_{3})}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}\ne 0$

hier q_i statt u_i: Koordinatenflächen, Koordinatenlinien und Koordinatenachsen (entlang der Basisvektoren eines ausgewählten Ortes)

Koordinatenlinien erhält man indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten und die dritte variiert wird. In jedem Punkt des 3-dimensionalen Raumes dürfen sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null). Als Beispiel für diese Uneindeutigkeit zählt der Ursprung bei den Kugelkoordinaten, bei dem sich alle Radial-Koordinatenlinien schneiden; somit sind die Koordinaten des Ursprungs nicht eindeutig (r = 0, aber θ und φ beliebig). Koordinatenflächen erhält man indem jeweils eine Koordinate festgehalten und die beiden anderen variiert werden.

Basisvektoren

Die Tangenteneinheitsvektoren an die Koordinatenlinien erhält man aus:

$\hat{e}_{u_{i}}=\frac{\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}}{\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} \right|}$

Diese Einheitsvektoren haben im Allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung $\hat{e}_{u_{i}}=\hat{e}_{u_{i}}\left( u_{1},u_{2},u_{3} \right)$.

Im Folgenden verwendete Definition:   $h_{u_{i}}:=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}} \right|$   somit   $\hat{e}_{u_{i}}=\frac{1}{h_{u_{i}}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}$

Spezialfall: Orthogonale Koordinaten

Schneiden sich an jedem Raumpunkt die 3 Koordinatenlinien paarweise senkrecht, so spricht man von einem orthogonalen Koordinatensystem. Die Einheitsvektoren $\hat{e}_{u_{i}}$ bilden also eine orthonormale Basis des $\mathbb{R}^{3}$:

$\hat{e}_{u_{i}}\cdot \hat{e}_{u_{j}}=\delta _{ij}$,   i,j = 1,2,3   (δ:Kronecker-Delta)

Bilden die orthonormalen Basisvektoren eine rechtshändige Basis (positive Orientierung), gelten folgende Beziehungen:

$\hat{e}_{u_{i}}\times \hat{e}_{u_{j}}=\varepsilon _{ijk}\hat{e}_{u_{k}}$ ,   i,j,k = 1,2,3   ($\varepsilon$: Levi-Civita-Symbol)

Vektoren als Linearkombination der Basisvektoren

Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren $\vec{a}$ durch die Basisvektoren $\hat{e}_{u_{i}}$ ausdrücken:

$\vec{a}=\sum\limits_{i=1}^{3}{a_{u_{i}}\hat{e}_{u_{i}}}$

Dabei ist $a_{u_{i}}$ die Vektorkomponente, die in Richtung der u_i-Koordinatenlinie zeigt. Diese lässt sich für eine orthonormale Basis einfach durch folgende Projektion bestimmen:

$\hat{e}_{u_{i}}\cdot\vec{a}=\sum\limits _{j=1}^{3}{a_{u_{j}}\hat{e}_{u_{i}}\cdot\hat{e}_{u_{j}}}=\sum\limits _{j=1}^{3}{a_{u_{j}}\delta_{ij}}=a_{u_{i}}$

Bei nicht orthogonalen Koordinatensystemen (schiefwinklig) bestimmt man die Vektorkomponente $a_{u_{i}}$ durch Projektion auf den dualen Basisvektor $\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}$. Das Skalarprodukt aus Basisvektoren $\hat{e}_{u_{j}}$ (kontravariante Vektoren) und dualen Basisvektoren $\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}$ (kovariante Vektoren) ergibt: $\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\hat{e}_{u_{j}} = \delta_{ij}$.

$\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\vec{a}=\sum\limits _{j=1}^{3}{a_{u_{j}}\vec{e}^{\ *}_{u_{i}}\cdot\hat{e}_{u_{j}}}=\sum\limits _{j=1}^{3}{a_{u_{j}}\delta_{ij}}=a_{u_{i}}$

Ableitungen der Basisvektoren

Die Ableitungen von Vektoren, die in krummlinigen Koordinaten dargestellt werden, weisen gegenüber den kartesischen folgende Besonderheit auf. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen keine Geraden sind und daher die Basisvektoren eine vom Ort abhängige Richtung haben, müssen die Basisvektoren auch differenziert werden (Anwenden der Produktregel):

$\frac{\partial \vec{a}}{\partial u_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\frac{\partial \left( a_{u_{i}}\hat{e}_{u_{i}} \right)}{\partial u_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\left[ \frac{\partial a_{u_{i}}}{\partial u_{i}}\hat{e}_{u_{i}}+a_{u_{i}}\frac{\partial \hat{e}_{u_{i}}}{\partial u_{i}} \right]}$

Integrationselemente

Ein Wegelement oder Linienelement $\mathrm{d} \vec r$ kann als totales Differential des Ortsvektors dargestellt werden.

$\text{d}\vec{r}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{i}}\text{d}u_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\hat{e}_{u_{i}}h_{u_{i}}\text{d}u_{i}}$

Die Differentiale in Richtung der u_i-Koordinatenlinien können identifiziert werden:

$\operatorname{d}\vec{r}_{u_{i}}=\hat{e}_{u_{i}}h_{u_{i}}\operatorname{d}u_{i}$

Damit können nun Bogen-, Flächen- und Volumenelement bestimmt werden.

Kurvenelement

Kurvenelement bzw. Bogenelement:

$\text{d}s=\sqrt{\text{d}\vec{r}\,^{2}}=\sqrt{\left( h_{u_{1}}\text{d}u_{1} \right)^{2}+\left( h_{u_{2}}\text{d}u_{2} \right)^{2}+\left( h_{u_{3}}\text{d}u_{3} \right)^{2}+2\left( \hat{e}_{u_{1}}\cdot \hat{e}_{u_{2}} \right)h_{u_{1}}h_{u_{2}}\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}+2\left( \hat{e}_{u_{1}}\cdot \hat{e}_{u_{3}} \right)h_{u_{1}}h_{u_{3}}\text{d}u_{1}\text{d}u_{3}+2\left( \hat{e}_{u_{2}}\cdot \hat{e}_{u_{3}} \right)h_{u_{2}}h_{u_{3}}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}}$

für orthogonale Koordinaten $\hat{e}_{u_{i}}\cdot \hat{e}_{u_{j}}=\delta _{ij}$ gilt:

$\text{d}s=\sqrt{\left( h_{u_{1}}\text{d}u_{1} \right)^{2}+\left( h_{u_{2}}\text{d}u_{2} \right)^{2}+\left( h_{u_{3}}\text{d}u_{3} \right)^{2}}$

Flächenelement

Flächenelement einer Koordinatenfläche, sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit u₁ = const:

$\text{d}A=\left| \left( \hat{e}_{u_{2}}h_{u_{2}}\text{d}u_{2} \right)\times \left( \hat{e}_{u_{3}}h_{u_{3}}\text{d}u_{3} \right) \right|=\left| \hat{e}_{u_{2}}\times \hat{e}_{u_{3}} \right|\left| h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}=\sqrt{1-\left( \hat{e}_{u_{2}}\cdot \hat{e}_{u_{3}} \right)^{2}}\left| h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}$

für orthogonale Koordinaten gilt:

$\text{d}A=\left| h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}$

Volumenelement

Volumenelement:

$\text{d}V=\left| \left( \hat{e}_{u_{1}}h_{u_{1}}\text{d}u_{1} \right)\cdot \left\{ \left( \hat{e}_{u_{2}}h_{u_{2}}\text{d}u_{2} \right)\times \left( \hat{e}_{u_{3}}h_{u_{3}}\text{d}u_{3} \right) \right\} \right|=\left| \hat{e}_{u_{1}}\cdot \left\{ \hat{e}_{u_{2}}\times \hat{e}_{u_{3}} \right\} \right|\left| h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}$

hier lässt sich der Betrag der Funktionaldeterminante identifizieren:

$\left| \hat{e}_{u_{1}}\cdot \left\{ \hat{e}_{u_{2}}\times \hat{e}_{u_{3}} \right\} \right|\left| h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|=\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{1}}\cdot \left\{ \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{2}}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{3}} \right\} \right|=\left| \det \frac{\partial (x_{1},x_{2},x_{3})}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})} \right|$

für orthogonale Koordinaten gilt:

$\text{d}V=\left| h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}} \right|\text{d}u_{1}\text{d}u_{2}\text{d}u_{3}$

Differentialoperatoren

Es werden die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace für orthogonale Koordinatensysteme angegeben:

• Nabla-Operator:  

$\vec{\nabla} =\sum\limits_{i=1}^{3}{\hat{e}_{u_{i}}\frac{1}{h_{u_{i}}}\frac{\partial }{\partial u_{i}}}$

• Gradient:

$\vec{\nabla} \Phi =\hat{e}_{u_{1}}\frac{1}{h_{u_{1}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{1}}+\hat{e}_{u_{2}}\frac{1}{h_{u_{2}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{2}}+\hat{e}_{u_{3}}\frac{1}{h_{u_{3}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{3}}$

• Divergenz:  

$\vec{\nabla} \cdot \vec{a}=\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}}\left( h_{u_{2}}h_{u_{3}}a_{u_{1}} \right)+\frac{\partial }{\partial u_{2}}\left( h_{u_{1}}h_{u_{3}}a_{u_{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial u_{3}}\left( h_{u_{1}}h_{u_{2}}a_{u_{3}} \right) \right]$

• Rotation:  

$\begin{align} \vec{\nabla}\times\vec{a} & =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left|\begin{matrix}h_{u_{1}}\hat{e}_{u_{1}} & h_{u_{2}}\hat{e}_{u_{2}} & h_{u_{3}}\hat{e}_{u_{3}}\\ \frac{\partial}{\partial u_{1}} & \frac{\partial}{\partial u_{2}} & \frac{\partial}{\partial u_{3}}\\ h_{u_{1}}a_{u_{1}} & h_{u_{2}}a_{u_{2}} & h_{u_{3}}a_{u_{3}}\end{matrix}\right|\\ & =\frac{\hat{e}_{u_{1}}}{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{2}}-\frac{\partial(h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{3}}\right)+\frac{\hat{e}_{u_{2}}}{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{3}}-\frac{\partial(h_{u_{3}}a_{u_{3}})}{\partial u_{1}}\right)+\frac{\hat{e}_{u_{3}}}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}\left(\frac{\partial(h_{u_{2}}a_{u_{2}})}{\partial u_{1}}-\frac{\partial(h_{u_{1}}a_{u_{1}})}{\partial u_{2}}\right)\end{align}$

• Laplace-Operator:  

$\Delta \Phi =\frac{1}{h_{u_{1}}h_{u_{2}}h_{u_{3}}}\left[ \frac{\partial }{\partial u_{1}}\left( \frac{h_{u_{2}}h_{u_{3}}}{h_{u_{1}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{1}} \right)+\frac{\partial }{\partial u_{2}}\left( \frac{h_{u_{1}}h_{u_{3}}}{h_{u_{2}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial u_{3}}\left( \frac{h_{u_{1}}h_{u_{2}}}{h_{u_{3}}}\frac{\partial \Phi }{\partial u_{3}} \right) \right]$

Literatur

Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 978-3827416889

Weblinks

• Wie "krümme" ich Nabla und Delta? - Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten auf www.matheplanet.com

Siehe auch

• Kartesische Koordinaten
• Koordinatensystem