Bayes-Schätzung

Unter Bayesscher Statistik versteht man einen besonderen Zweig der modernen Statistik. Sie beruht auf dem Satz von Bayes. Eine mögliche Anwendung besteht z. B. im Testen einer Nullhypothese:

$P(H_0|E) = \frac{P(E|H_0)\;P(H_0)}{P(E)}.$

• H₀ ist die Nullhypothese.
• E ist das beobachtete Ereignis.
• P(H₀) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit von H₀.
• P(E | H₀) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von E, unter der Bedingung dass die Nullhypothese H₀ wahr ist; als Funktion von H₀ nennt man sie die Likelihood-Funktion.
• P(E) ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit von E. Es handelt sich um eine normierende Konstante, welche manchmal als Evidenz bezeichnet wird. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit kann mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit als Erwartungswert der bedingten Wahrscheinlichkeiten P(E | H₀) und P(E | H₁) berechnet werden, wobei H₁ die Alternativhypothese (also die Gegenhypothese zu H₀) darstellt.
• P(H₀ | E) ist die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit von H₀ gegeben E.

Falls P(H₀ | E) unter einen vorgegebenen Schwellenwert $\alpha\in [0,1]$ (die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art) fällt, wird die Nullhypothese verworfen. In praxi wird die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit oft mittels Monte-Carlo-Simulationen berechnet.

Während die Festlegung eines statistischen Modells P(E | H₀) im Allgemeinen noch objektiv begründet werden kann, ist die Wahl der A-Priori-Wahrscheinlichkeit P(H₀) einer gewissen Willkür unterworfen.