Wronskideterminante

Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein. Für n reell- oder komplexwertige Funktionen $f_1,\dots,f_n$ auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert durch

$W(f_1, \dots , f_n )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \dots & f_n(t) \\ f^{(1)}_1(t) & f^{(1)}_2(t) & \dots & f^{(1)}_n(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \dots & f^{(n-1)}_n(t) \end{vmatrix}, \qquad t\in I,$

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis (n − 1)-te Ableitung bezeichnen.

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der abelschen Identität vereinfacht werden.

Formulierung als Kriterium für lineare Unabhängigkeit

Gilt $W(f_1,\ldots,f_n)(t_0) \neq 0$ für ein $t_0 \in I$, so sind die Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ auf dem Intervall I linear unabhängig.

Beweis

Aus $\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k \equiv 0$ folgt $\sum_{k=1}^n\lambda_kf_k^{(j)}(t_0) = 0$ für alle $j \in \{0, \ldots, n-1\}$. Insbesondere erhält man eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Wronski-Matrix im Punkt t₀ zum Nullvektor. Da die Spaltenvektoren aber wegen $W(f_1,\ldots,f_n)(t_0) \neq 0$ linear unabhängig sind, muss $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ folgen.

$\Box$

Gegenbeispiel für die Umkehrung

Vorsicht: Aus $W(f_1,\ldots,f_n) \equiv 0$ folgt nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen $f_1,\ldots,f_n$, d. h., die Umkehrung ist falsch.

Als Gegenbeispiel hierfür dienen beispielsweise die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

$f_1(t)=\begin{cases} 0\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\ t^2\ ,&\mbox{falls }t>0,\end{cases}\qquad\mbox{und}\qquad f_2(t)=\begin{cases} t^2\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\0\ ,&\mbox{falls }t>0.\end{cases}$

Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt $W(f_1, f_2 )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t)\\ f'_1(t) & f'_2(t) \end{vmatrix} = 0.$

Aber $\lambda\ f_1(t)+\mu\ f_2(t)=0$ führt für $t\ =1$ zu $\lambda\ =0$ und für $t\ =-1$ zu $\mu\ =0$, was die lineare Unabhängigkeit der beiden Funktionen impliziert.

Literatur

• Eric W. Weisstein. „Wronskian.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html