- Wronskideterminante
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Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein. Für n reell- oder komplexwertige Funktionen
auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert durch
wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis (n − 1)-te Ableitung bezeichnen.
Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der abelschen Identität vereinfacht werden.
Inhaltsverzeichnis
Formulierung als Kriterium für lineare Unabhängigkeit
Gilt
für ein
, so sind die Funktionen
auf dem Intervall I linear unabhängig.
Beweis
Aus
folgt
für alle
. Insbesondere erhält man eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Wronski-Matrix im Punkt t0 zum Nullvektor. Da die Spaltenvektoren aber wegen
linear unabhängig sind, muss
folgen.
Gegenbeispiel für die Umkehrung
Vorsicht: Aus
folgt nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen
, d. h., die Umkehrung ist falsch.
Als Gegenbeispiel hierfür dienen beispielsweise die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen
Für alle
gilt
Aber
führt für
zu
und für
zu
, was die lineare Unabhängigkeit der beiden Funktionen impliziert.
Literatur
- Eric W. Weisstein. „Wronskian.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html
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