Wronski-Determinante

Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Definition

Für n reell- oder komplexwertige Funktionen $f_1,\dots,f_n$ auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert durch

$W(f_1, \dots , f_n )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \dots & f_n(t) \\ f^{(1)}_1(t) & f^{(1)}_2(t) & \dots & f^{(1)}_n(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \dots & f^{(n-1)}_n(t) \end{vmatrix}, \qquad t\in I,$

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis (n − 1)-te Ableitung bezeichnen.

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit

Kriterium

Gilt $W(f_1,\ldots,f_n)(t_0) \neq 0$ für ein $t_0 \in I$, so sind die Funktionen $f_1,\ldots,f_n$ auf dem Intervall I linear unabhängig.

Gegenbeispiel für die Umkehrung

Vorsicht: Aus $W(f_1,\ldots,f_n) \equiv 0$ folgt nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen $f_1,\ldots,f_n$, das heißt, die Umkehrung ist falsch. Es gilt jedoch, dass die Funktionen auf einem Teilbereich linear Abhängig sind. Als Beispiel hierfür dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

$f_1(t)=\begin{cases} 0\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\ t^2\ ,&\mbox{falls }t>0,\end{cases}\qquad\mbox{und}\qquad f_2(t)=\begin{cases} t^2\ ,&\mbox{falls }t\le0,\\0\ ,&\mbox{falls }t>0.\end{cases}$

Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt

$W(f_1, f_2 )(t) = \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t)\\ f'_1(t) & f'_2(t) \end{vmatrix} = 0.$

Aber $\lambda\ f_1(t)+\mu\ f_2(t)=0$ führt für t = 1 zu λ = 0 und für t = − 1 zu μ = 0, was die lineare Unabhängigkeit auf t = 1 beziehungsweise für t = − 1 der beiden Funktionen impliziert. Für t = 0 gilt f₁(0) = 0 und f₂(0) = 0, was lineare Abhängigkeit in t = 0 bedeutet.

Literatur

• Heuser H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Wronskian. In: MathWorld. (englisch)