Bell-Ungleichungen

Die Bellsche Ungleichung ist eine Schranke an Mittelwerte von Messwerten, die 1964 von John Bell angegeben wurde. Die Ungleichung gilt in allen physikalischen Theorien, die real und lokal sind und in denen man unabhängig vom zu vermessenden System zufällig wählen kann, dieses oder jenes zu messen (diese Einschränkungen besagen vereinfacht, dass es sich um eine „klassische“ Theorie wie die Newton'sche Mechanik oder die Maxwell'sche Elektrodynamik handelt).

Präzise:

1.) Eine physikalische Theorie ist real, wenn jede Messung nur eine Eigenschaft abliest, die auch ohne Messung vorliegt, wenn also der Wert jeder denkbaren Messung feststeht, selbst wenn wir ihn wegen ungenügender Kenntnis verborgener Parameter nicht vorher wissen.

2.) Eine physikalische Theorie ist lokal, wenn sich bei zwei räumlich weit getrennten Teilchen die Wahl dessen, was beim einen Teilchen gemessen wird, nicht augenblicklich auf das andere Teilchen auswirkt.

Die Quantenmechanik ist keine reale und lokale Theorie. Die in der Quantenmechanik berechneten Mittelwerte verletzen die Bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realen und lokalen Theorie vervollständigt werden.

Bei Photonpaaren ist die Verletzung der Bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre Polarisationseigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich.

Dies bedeutet, dass nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen oder dass die Meßwerte nichtlokal von weit entfernten, zufälligen Entscheidungen abhängen oder dass man nicht zufällig wählen kann, dieses oder jenes zu messen.

Herleitung

Wir betrachten Polarisationsmessungen an Paaren von Photonen, die von einer Quelle in entgegengesetzte Richtung emittiert werden und an zwei Orten getrennt gemessen werden.

Polarisationsfilter polarisieren Photonen in einer zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Richtung $\mathbf a\,.$ Sie lassen Photonen, die in Richtung $\mathbf a$ polarisiert sind, ungehindert durch und absorbieren mit Sicherheit Photonen, deren Polarisationsrichtung senkrecht zu $\mathbf a$ steht. Dabei ist $\mathbf a$ ein Einheitsvektor in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Photons.

Dreht man den Filter in seiner Ebene, so erhält man einen Filter, der in gedrehter Richtung $\mathbf b$ polarisiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon, das in Richtung $\mathbf a$ polarisiert ist, ungehindert durch einen Filter geht, der in Richtung $\mathbf b$ polarisiert, beträgt

$w(\mathbf a, \mathbf b)=(\mathbf a\cdot\mathbf b)^ 2 = \cos^ 2 \theta_{ab}\,.$

Mit der Restwahrscheinlichkeit $\, 1-\cos^2 \theta_{ab} =\sin^2 \theta_{ab}$ wird es absorbiert. Dabei ist $\, \theta_{ab}$ der von $\mathbf a$ und $\mathbf b$ eingeschlossene Winkel.

Die Polarisation der untersuchten Photonpaare ist wegen ihrer Herkunft nicht unabhängig, sondern verschränkt: Stimmen die Richtungen der Polarisationsfilter an beiden Messorten überein, so wird das eine Photon genau dann absorbiert, wenn auch das andere Photon absorbiert wird.

Bei Polarisationsmessungen an Photonen unterstellt die Realitätsannahme, in jedem Fall stehe für alle Richtungen fest, ob das Photon absorbiert werde, auch wenn in jedem Einzelfall der Polarisationsfilter nur in einer Richtung messen kann.

Bei den Messungen wird unterstellt, dass man die Richtung beider Polarisationsfilter zufällig wählen kann. Welche Richtung des Polarisationsfilters man wählt, hängt nicht vom jeweiligen Photonpaar ab.

Lokalität unterstellt beim Photonpaar, dass die Richtung des einen Polarisationsfilter sich nicht darauf auswirkt, ob das andere Photon absorbiert wird. Dies stellt man dadurch sicher, das die Richtungen erst so spät zufällig gewählt werden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen kann.

Wir betrachten eine Reihe von wiederholten Messungen an Photonpaaren und nummerieren sie fortlaufend mit $\,i=1,2, \ldots ,N$. Wenn bei der i-ten Messung der eine Filter in Richtung $\mathbf a_1$ polarisiert und das Photon durchkommt, schreiben wir dieses Ergebnis als $\,a_{1i}=1$ auf, wird es absorbiert, setzen wir $\,a_{1i}=-1\,.$ Mit $\,b_{1i}$ bezeichnen wir das Ergebnis, das sich beim Versuch Nummer i ergäbe, wenn wir am ersten Teilchen die Polarisation in Richtung $\mathbf b$ messen würden. Entsprechend sind $\,c_{2i}=1$ oder $c_{2i}=-1\,,$ jenachdem ob das andere Photon des Paares im Versuch mit der Nummer i durch den anderen Polarisationsfilter in Richtung $\mathbf c$ kommt.

Da die Ergebnisse $\,a_{1i}$, $\,b_{2i}$ und $\,c_{2i}$ nur die Werte 1 oder -1 haben können, gelten in allen Fällen die Ungleichungen

$a_{1i}\,(b_{2i}-c_{2i})\leq 1-b_{2i}c_{2i}\,.$

Denn entweder ist $\,b_{2i}=c_{2i}$, dann sind beide Seiten gleich 0, oder es gilt $\,b_{2i}=-c_{2i}$, dann hat die rechte Seite den Wert 2 und die linke Seite den Wert 2 oder −2.

Da bei gleicher Richtung beider Filter das eine Photon genau dann absorbiert wird, wenn auch das andere Photon absorbiert wird, gilt in allen Fällen

$b_{2i}=b_{1i}\,.$

In die Ungleichungen eingesetzt, ergibt sich

$a_{1i}\,b_{2i} -a_{1i}\,c_{2i}+b_{1i}\,c_{2i}\leq 1 \,.$

Der Mittelwert $\langle a_1\, b_2\rangle$ der Produkte der Messergebnisse ist die Summe der Produkte $a_{1i}\,b_{2i}$, geteilt durch die Anzahl der Versuche,

$\langle a_1\, b_2\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N a_{1i}\,b_{2i}.$

Entsprechend erhält man die Mittelwerte der Messergebnisse $\langle a_1\, c_2\rangle$ und $\langle b_1\, c_2\rangle$.

Summiert man die Ungleichungen und teilt man das Ergebnis durch die Anzahl der Versuche, so erhält man die Bellsche Ungleichung^[1] für Mittelwerte von Produkten von Polarisationswerten

$\langle a_1\,b_2\rangle-\langle a_1\,c_2\rangle+\langle b_1\,c_2\rangle \leq 1\,.$

Rückblickend haben wir bei der Herleitung der Bellschen Ungleichung unterstellt, in jedem Versuch lägen die Ergebnisse jeder Polarisationsmessung in der Richtungen $\mathbf a$ und der Richtung $\mathbf b$ und der Richtung $\mathbf c$ fest, obwohl tatsächlich nur in jeweils einer Richtung gemessen werden kann. Wir haben auch unterstellt, dass die Ergebnisse bei einem Teilchen nicht davon abhängen, in welche Richtung am anderen Teilchen gemessen wird, dass es sich also bei den Ergebnissen am ersten Photon nicht je nach Richtung $\mathbf b$ oder $\mathbf c$ des zweiten Filters um Ergebnisse $\,a_{1ib}$ oder $\,a_{1ic}$ handelt. Schließlich unterstellen wir, dass der Mittelwert über alle gedachten Versuchsergebnisse mit dem Mittelwert über alle tatsächlich ausgeführten Versuche übereinstimmt und dass keine Eigenschaft des Photonpaares die zufällige Wahl der Messrichtungen beeinträchtigt.

Quantenmechanische Mittelwerte

In der Quantenmechanik ergibt sich für den Mittelwert der Polarisationsmessungen

$\langle {a}_1\, {b}_2\rangle = \cos(2\,\theta_{ab})\,.$

Es ist aber die Linearkombination der Mittelwerte, wie sie in der Bellschen Ungleichung vorkommt,

$\cos(2\,\theta_{ab})-\cos(2\,\theta_{ac})+\cos(2\,\theta_{bc})$

nicht für alle Richtungen kleiner als 1. Wählt man beispielsweise $\mathbf b$ als Winkelhalbierende zwischen $\mathbf a$ und $\mathbf c\,,$ die 60 Grad einschließen,

$\theta_{ab}=\theta_{bc}=\frac{\pi}{6}$ und $\theta_{ac}=\frac{\pi}{3},$

so ergibt sich für die Linearkombination der quantenmechanischen Mittelwerte

$\underbrace{\cos(2\,\theta_{ab})}_\frac{1}{2}-\underbrace{\cos(2\,\theta_{ac})}_{-\frac{1}{2}} +\underbrace{\cos(2\, \theta_{bc})}_\frac{1}{2}=\frac 3 2$

im Widerspruch zur Bellschen Ungleichung für lokale, realistische Theorien.

Die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten können nicht von einer vollständigeren, lokalen Theorie von der Unkenntnis verborgener Parameter herrühren, die den Ausgang jeder denkbaren Messung festlegen.

Experimentelle Widerlegung der Bellschen Ungleichung

Seit Ende der 1960er-Jahre wurden viele Experimente durchgeführt, um eine Verletzung einer Bellschen Ungleichung nachzuweisen:

• Kocher und Commins (1967) beobachteten Korrelationen in Photonenpaaren, die von angeregten Kalziumatomen ausgesandt werden.^[2]
• Freedman und Clauser (1972) benutzten diesen Prozess, um eine erste Verletzung einer Bellschen Ungleichung zu demonstrieren.^[3]
• Aspect, Dalibard und Roger (1982) benutzten einen anderen Prozess im Kalziumatom, der höhere Zählraten und dadurch eine signifikantere Verletzung ergab. Außerdem waren beide Polarisationsfilter 12 m entfernt und die Wahl ihrer Messrichtungen erfolgte durch einen schnellen Zufallsgenerator erst nachdem beide Photonen die Quelle verlassen hatten.^[4]
• Weihs und Mitarbeiter (1998) benutzten polarisationsverschränkte Photonen, die durch spontane parametrische Fluoreszenz erzeugt worden waren. Die Polarisationsfilter waren 400 m entfernt, so dass eine Informationsübertragung über die Messrichtung wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit nicht möglich war.^[5]
• Rowe und Mitarbeitern (2001) gelang es, eine Verletzung der Ungleichung anhand von Messungen an Ionen in einer Falle zu demonstrieren. Dabei konnten alle Ereignisse detektiert werden (siehe: Kritik an den Experimenten).^[6]

Kritik an den Experimenten

Um die Verletzung der Bellschen Ungleichung überzeugend nachzuweisen, muss das Experiment einige Bedingungen erfüllen.

Die Messungen an den beiden Photonen jedes Paares müssen raumzeitlich getrennt sein: es muss ausgeschlossen sein, dass die Wahl der einen Messrichtung bei der anderen Messung bekannt ist. Dies stellten Aspect und Weihs in ihren Experimenten dadurch sicher, dass die Richtungen erst so spät zufällig gewählt wurden, dass man von dieser Wahl selbst mit lichtschnellen Signalen bei der anderen Messung noch nichts wissen konnte. Falls es aber überlichtschnelle Signale gäbe, dann wäre denkbar, dass die Entscheidung, in welche Richtung am einen Ort die Polarisation gemessen wird, sich auf das Ergebnis am anderen Ort auswirkt und die Bellsche Ungleichung deshalb verletzt ist. Für solch ein Lokalitätsschlupfloch durch überlichtschnelle Signale gibt es allerdings keinen Hinweis.

Bei den Photonexperimenten gibt es aber noch ein anderes Problem: Jeder Photodetektor weist nur ein Bruchteil der Photonen nach (im Experiment von Weihs nur 5 Prozent). Man muss zusätzlich annehmen, dass die nicht nachgewiesenen Photonen dieselben Eigenschaften haben wie die nachgewiesenen. Das ist das sogenannte Nachweisschlupfloch.

Das Experiment von Rowe schließt dieses Nachweisschlupfloch.

Folgerungen aus der Verletzung der Bellschen Ungleichung

Man kann nicht einfach die Quantenmechanik als falsch abtun. Sie stimmt mit den experimentellen Befunden überein.

Man kann stattdessen Einsteins Postulate, insbesondere die Vorstellung verborgener Variablen, aufgeben und hinnehmen, dass die Wellenfunktion nur die Wahrscheinlichkeit der Messwerte festlegt, nicht aber, welcher Messwert in jedem Einzelfall auftritt. Dies ist die Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik, die unter Physikern vorherrscht. So aufgefasst ist die Quantenmechanik nicht-realistisch, im Gegensatz zu den Vorstellungen von Einstein, Podolski und Rosen (siehe EPR-Effekt), weil eine Messung nicht einfach eine Eigenschaft abliest, sondern feststellt, was zuvor nicht feststand. Zudem ist die Quantenmechanik auch nicht-lokal, weil sich der quantenmechanische Zustand des Photonpaares über beide Messplätze erstreckt.

In ihrer Kopenhagener Deutung genügt die Quantenmechanik nicht Einsteins Forderungen an eine vollständige, reale und lokale Beschreibung der Physik. Dies hatte Einstein erkannt und bemängelt. Aber er irrte in der Annahme, die Quantenmechanik könne durch Hinzufügen verborgener Variablen real und lokal werden.

Man kann die Lokalität aufgeben und an der Realität festhalten, wie beispielsweise in der Bohmschen Mechanik. Bohm deutet die Wellenfunktion als nicht-lokales Führungsfeld klassischer Teilchen. Ob diese Deutung zu physikalischen Einsichten führt, ist unter Physikern strittig.

Verwandte Experimente

Die CHSH-Ungleichung (1969 von Clauser, Horne, Shimony und Holt entwickelt^[7]) verallgemeinert die Bellsche Ungleichung auf beliebige Observable. Sie ist experimentell einfacher zu überprüfen.

Greenberger, Horne, und Zeilinger beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das GHZ-Experiment mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.^[8]

Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.

Die Experimente zur Verletzung der Bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der Kopenhagener Interpretation) neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. Leggett formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll.^[9] Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die Leggettsche Ungleichung verletzt wird.^[10] Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.^[11][12][13]

Siehe auch

• Kochen-Specker-Theorem

Literatur

• J. S. Bell: Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Cambridge University Press, Cambridge 1988, ISBN 0521368693 (bündelt Bells Originalaufsätze).
• L. Hardy: Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. In: Physical Review Letters. 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 (doi:10.1103/PhysRevLett.71.1665 10.1103/PhysRevLett.71.1665 .
• A. Aspect: Bell's inequality test: more ideal than ever. In: Nature. 398. Nr. 6724, 1999, S. 189–190 (doi:10.1038/18296).
• James T. Cushing (Hrsg.): Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem. Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0268015783.
• Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0198249373.
• M. Kafatos (Hrsg.): Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe. Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0792304969.
• T. Maudlin: Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell, Oxford U. K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0631186093.
• A. Peres: All the Bell inequalities. In: Foundations of Physics 29, Nr. 589, 1999, S. 589–614, (Preprint: arXiv:quant-ph/9807017).

Lehrbuchdarstellung

• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. 2. Auflage, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0201539292, S. 174–187, 223-232.

Weblinks

• Thomas Hausmaninger: Polarisierte Photonen (enthält eine Gültigkeitsdiskussion der Bellschen Ungleichung.)
• Franz Embacher: EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung. Ms. Wien 2000.
• Norbert Dragon: Anmerkungen zur Quantenmechanik (Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der Bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren).
• Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3
• László E. Szabó: „The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities“ in der Internet Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)

Einzelnachweise

1. ↑ J. S. Bell: On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. In: Physics. 1, Nr. 3, 1964, S. 195-200 (PDF). 
2. ↑ C. A. Kocher, E. D. Commins: Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade. In: Physical Review Letters. 18, Nr. 15, 1967, S. 575-577 (doi:10.1103/PhysRevLett.18.575). 
3. ↑ S. J. Freedman, J. F. Clauser: Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. 28, Nr. 14, 1972, S. 938-941 (doi:10.1103/PhysRevLett.28.938). 
4. ↑ Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger: Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time- Varying Analyzers. In: Physical Review Letters. 49, Nr. 25, 1982, S. 1804-1807 (doi:10.1103/PhysRevLett.49.1804). 
5. ↑ G. Weihs, T. Jennewein, C. Simon, H. Weinfurter, A. Zeilinger: Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions. In: Physical Review Letters. 81, Nr. 23, 1998, S. 5039-5043 (arXiv:quant-ph/9810080v1) (doi:10.1103/PhysRevLett.81.5039). 
6. ↑ M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland: Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection.. In: Nature. 409, Nr. 6822, 2001, S. 791-4 (doi:10.1038/35057215). 
7. ↑ J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. 23, Nr. 15, 1969, S. 880-884 (doi:10.1103/PhysRevLett.23.880). 
8. ↑ M. Kafatos: Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe. 2. Auflage. Springer-Verlag Gmbh, 1989, ISBN 0792304969. 
9. ↑ A. J. Leggett: Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem. In: Foundations of Physics 33, Nr. 10, 2003, 1469-1493 (doi:10.1023/A:1026096313729, PDF)
10. ↑ Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger: An experimental test of non-local realism. In: Nature. 446, Nr. 7138, 2007, S. 871-875. (doi:10.1038/nature05677, arXiv:0704.2529)
11. ↑ Alain Aspect: To be or not to be local. In: Nature 446, Nr. 7137, 2006, S. 866 (doi:10.1038/446866a).
12. ↑ Ulf von Rauchhaupt: Weltbild der Physik. Die Wirklichkeit, die es nicht gibt Auf: faz.net 22. April 2007 (Zitat von Tim Maudlin)
13. ↑ Brian Weatherson : Testing Realism?. 25. April 2007 (Bezug auf Tim Maudlin)