Zellparameter

Ein Gitterparameter, auch Zellparameter genannt, ist entweder eine Längenangabe oder ein Winkel, die zur Beschreibung des Gitters, insbesondere der kleinsten Einheit des Gitters, der Elementarzelle, benötigt werden. Der Gitterparameter ist entweder eine Seitenlänge der Elementarzelle oder ein Winkel zwischen den Kanten der Zelle, bzw. ein Winkel zwischen den Achsen des entsprechenden Kristallsystems. Gitterparameter sind bedeutend in der Kristallographie und der Optik.

Definition Gitterparameter

Das Gitter wird durch periodisches Verschieben der Elementarzelle um jeweils denselben Abstand in eine bestimmte Raumrichtung (Gittervektor) erzeugt.

Für ein eindimensionales (optische) Gitter genügt ein Gitterparameter, die Angabe des Abstandes benachbarter (paralleler) Gitterelemente. In zwei Dimensionen gibt es zwei verschiedene Gittervektoren und drei notwendige Gitterparameter - zwei Längen und der Winkel zwischen den Gittervektoren. Für die Beschreibung eines dreidimensionalen Gitters werden maximal sechs Parameter, drei Längen und drei Winkel benötigt. Diese sechs Parameter, die die Elementarzelle definieren, werden oft mit a, b, c und α, β, γ bezeichnet. Drei davon, die Längen a, b, und c, beschreiben den Abstand zweier Gitterebenen, die mit den Seitenflächen der Elementarzellen zusammenfallen; diese Gitterebenen sind daher gleichwertig. Die anderen drei, α, β, γ benennen die Winkel zwischen den Gittervektoren, die durch Translation der Elementarzelle die Struktur aufbauen.

Die Beschreibung eines Gitters durch Gitterparameter ist nicht eindeutig. Verschiedene Sätze von Gitterparametern können dasselbe Gitter beschreiben. Daher werden Einheitszellen mit möglichst hoher Symmetrie verwendet. Symmetrien vermindern die Anzahl der benötigten Gitterparameter. Spiegelsymmetrien bedeuten rechte Winkel zwischen geeignet gewählten Gittervektoren, drei oder vierzählige Rotationsachsen erfordern gleich Längen von Gittervektoren und Winkel von 60 bzw. 90 Grad. Daher benötigen kubische Gitter nur einen Gitterparameter zur Beschreibung (3 vierzählige Drehachsen, 4 dreizählige Drehachsen, 9 Spiegelebenen), hexagonale (eine sechszählige Drehachse, 4 Spiegelebenen) und tetragonale (eine vierzählige Drehachse, 5 Spiegelebenen) Gitter zwei Parameter, orthogonale vier (3 Spiegelebenen), monokline fünf (eine Spiegelebene) und trikline Sechs (keine Symmetrie).

Früher wurde statt Gitterparameter oft der Begriff "Gitterkonstante" verwendet. Dieser hat aber nur historische Bedeutung, da die sogenannten "Gitterkonstanten" nicht unter allen Bedingungen konstant sind, im Gegenteil, sie hängen von der Temperatur und dem Druck ab, bei Legierungen auch von der Zusammensetzung. Man verwendet deshalb heute bevorzugt den Begriff Gitter- oder Zellparameter, um die Elementarzelle zu beschreiben. Die Temperaturabhängigkeit ist aber zumeist nicht sehr groß.

Bestimmung von Gitterparametern

Gitterparameter können im einfachsten Fall direkt oder mit dem Mikroskop gemessen werden. Beispielsweise besitzt ein Gitter mit 250 Linien pro Zentimeter eine Gitterkonstante von $g = \tfrac{1\ \mathrm{cm}}{250} = 0{,}004\ \mathrm{cm}$.

Zum direkten Vermessen der Parameter von kristallinen Stoffen können das Transmissionselektronenmikroskop oder das Rastertunnelmikroskop verwendet werden. Zumeist erfolgt die Ermittlung der Gitterparameter aber mittels Beugungsmethoden, beispielsweise mit der Röntgenbeugung. Bei der Röntgenstrukturanalyse ist die Bestimmung der Gitterparameter der erste Schritt zur Bestimmung der vollständigen Kristallstruktur.

Die Zellparameter von Oberflächenstrukturen können mit Hilfe der Beugung langsamer Elektronen (LEED, Low Energy Electron Diffraction) bestimmt werden.

Beispiele von Gitterparametern

Der Gitterparameter von Silicium, das eine Diamant-Kristallstruktur ausbildet, wurde mit sehr großer Genauigkeit gemessen und beträgt 543,102064(14) pm^[1]. Die genaue Vermessung wurde im Hinblick auf eine mögliche neue Festlegung des Kilogramms und des Mols durchgeführt.

Die Massendichte eines kristallinen Stoffs lässt sich aus den Gitterparametern bestimmen. Im einfachen Fall kubischer Gitter ist die Dichte: $\rho = n \frac{A_r \, u}{a^3}$ mit der Zahl n der Atome je Elementarzelle, der relativen Atommasse A_r, der atomaren Masseneinheit u und dem Gitterparameter a berechnen. Die Zahl n ist 8 für Diamant-Gitter, 4 für kubisch flächenzentrische Gitter, 2 für kubisch raumzentrische Gitter und eins für einfach kubische Gitter.

Die Bindungslänge im Diamant-Gitter ist $l = a \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}$ , im kubisch flächenzentrischen Gitter $l = a \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, im kubisch raumzentrischen Gitter $l = a \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ und im einfach kubischen Gitter l = a.

Der Gitterparameter von Eisen mit einem kubisch raumzentrischen Gitter ist 286,65 pm. Für den Gitterparameter kubisch flächenzentrierter Strukturen seien die Beispiele Nickel 352,4 pm, Kupfer 361,48 pm, Silber 408,53 pm, und Gold 407,82 pm genannt.

Siehe auch

• Kristall
• Elementarzelle
• Millersche Indizes
• Optisches Gitter
• Vegardsche Regel

Einzelnachweise

1. ↑ CODATA 2006, [1], aufgerufen 25.09.2007