Bildseitiger Öffnungswinkel

Als Öffnungswinkel ω einer Sammellinse oder Objektivs (allgemein eines fokalen optischen Systems) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der optischen Achse mit dem Durchmesser der Eintritts- bzw. Austrittspupille bildet.

Konkret unterscheidet man zwischen objektseitigem und bildseitigem Öffnungswinkel

• objektseitiger Öffnungswinkel

Der objektseitige Öffnungswinkel ω_O ist definiert als der Winkel zwischen dem Objektpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Eintrittspupille.

$\displaystyle \omega_O = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Eintrittspupille}} { 2 \cdot Abstand_\text{Eintrittspupille zu Objektpunkt}} \right) \,$

• bildseitiger Öffnungswinkel

Analog ist der bildseitige Öffnungswinkel ω_B der Winkel zwischen dem Bildpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Austrittspupille.

$\displaystyle \omega_B = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Austrittspupille}} { 2 \cdot Abstand_\text{Austrittspupille zu Bildpunkt}} \right) \,$

Der bildseitige Öffnungswinkel bestimmt die Größe der Zerstreuungskreise und beeinflusst somit die Abbildungstiefe.

Öffnungswinkel einer Sammellinse

Objektseitiger Bildwinkel ω_O und bildseitiger Bildwinkel ω_B.Gegenstandsweite g sowie die Bildweite b sind bezeichnet

Bei Foto-Objektiven entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr der Lage der Hauptebenen, auch ist deren Durchmesser üblicherweise variabel. Im Unterschied zu Objektiven, die zusätzliche Blenden enthalten und meistens auch aus mehreren Linsen aufgebaut sind, fallen bei einer Sammellinse Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen - ihr Durchmesser entspricht dabei einfach dem Linsendurchmesser. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der Gegenstandsweite g und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der Bildweite b. Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel bei einer Sammellinse einfach berechnen lassen:

$\displaystyle \omega_O = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_{Linse}} { 2 \cdot \text{Gegenstandsweite}} \right)$

für den objektseitigen Öffnungswinkel und

$\displaystyle \omega_B = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_{Linse}} { 2 \cdot \text{Bildweite}} \right)$

für den bildseitigen Öffnungswinkel

Große Gegenstandsweite

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich wenn man den Öffnungswinkel bei sehr großen Gegenstandsweiten ("unendlich") betrachtet. Wächst die Gegenstandsweite über alle Grenzen, so wird

$\displaystyle \omega_O = 0 \,$

Gemäß der Linsengleichung entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der Brennweite f, also wird

$\displaystyle \omega_B = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_{Linse}} {2 \cdot f} \right) \,$

Öffnungsverhältnis und Blendenzahl

Für große Gegenstandsweiten g ergibt sich aus dem bildseitigen Öffnungswinkel $\displaystyle \omega_B$ und der Brennweite f eines optischen Systems das Öffnungsverhältnis 1/$\displaystyle \kappa$

$\displaystyle \frac 1 \kappa = 2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_B} 2 \right) \,$

Die Blendenzahl ist der Kehrwert des Öffnungsverhälnisses, also
$\displaystyle \kappa = \frac 1 {2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_B} 2 \right)}$

Numerische Apertur

Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel $\displaystyle \omega_O$ und der Brechzahl n des Mediums ergibt sich die numerische Apertur A_N wie folgt:

$\displaystyle A_N = n \cdot \sin \left( \frac {\omega_O} 2 \right) \,$

Die Brechzahl n der Luft beträgt fast genau 1 (1,000292 in Bodennähe).

Verwandte Themen

• Linsengleichung
• Bildwinkel
• Öffnungsverhältnis
• Blendenzahl
• numerische Apertur
• Unendlichkeit in der Mathematik

Weblinks

Optische Terminologie (Canon)