Bogoliubov Ungleichung

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Die Bogoliubov-Ungleichung ist eine allgemeine Aussage in der statistischen Physik. Sie beschreibt eine Beziehung zwischen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht. Veröffentlicht wurde sie 1962^[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow.

Inhalt

Betrachtet wird ein physikalisches System beschrieben mittels eines Hamiltonoperators H. Dann gilt für zwei Operatoren A und C (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

$|\langle[C,A]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_B T}$

wobei [A,C] als Kommutator, sowie {A,C} als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X als

$\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{\beta H}X)$

gegeben ist. k_B ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.^[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

$(A,B)=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}$

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert ist. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

$|(A,B)|^2\leq (A,A)(B,B)$

Betrachtet man nun $B=[C^\dagger,H]$ so erhält man die Ungleichung.

Literatur

• Nolting Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd.2

Quellen

1. ↑ N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962)
2. ↑ Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd.17, 1966, S.1133