Breguet'sche Reichweitenformel

Mit der Breguet'sche Reichweitenformel, benannt nach Louis Charles Breguet, kann die Reichweite von motorisierten Flugzeugen berechnet werden. Dabei bezieht sich die ursprüngliche Breguet'sche Formel auf Flugzeuge mit Propellerantrieb (Kolbenmotoren und Propellerturbinen mit geringem Restschub), die aber mit entsprechender Modifikation auch auf Flugzeuge mit Turboluftstrahltriebwerken angewendet werden kann. Der errechnete Reichweitenwert ist nur exakt für konstante Flugzeugmasse, konstante Fluggeschwindigkeit (bei Turboluftstrahltriebwerken), konstante Leistung (bei Kolbentriebwerken) und konstante Flughöhe.

Definition

Die Breguet’sche Reichweitenformel gibt die Reichweite für propellergetriebene Flugzeuge an, gemäß

$R = \frac{\eta}{c_P\cdot\epsilon}\cdot \ln \left(\frac{m_0}{m_0 - m_t}\right)$

Dabei sind: R = Reichweite; η = Antriebswirkungsgrad (Propeller); c_P = spezifischer Kraftstoffverbrauch (Kolbenmotor); ε = Gleitzahl; m₀ = Flugzeugmasse am Startpunkt der Berechnung; m_t = verbrauchte Treibstoffmenge während des Reiseflugsegments. Es ist dringend auf konsistente Einheiten zu achten, da der spezifische Kraftstoffverbrauch oft in unterschiedlichen Einheiten angegeben wird. Für Turboproptriebwerke mit geringem Restschub kann diese Formel ebenfalls verwendet werden.

Passt man die Breguet’sche Formel entsprechend an (siehe Herleitung), dann kann man mit ihr auch die Reichweite für Flugzeuge mit Turboluftstrahlantrieb berechnen:

$R=\frac{v}{c_T\cdot\epsilon}\cdot \ln \left(\frac{m_0}{m_0 - m_t }\right)$

Dabei sind: R = Reichweite; v = Fluggeschwindigkeit; c_T = spezifischer Kraftstoffverbrauch (Turboluftstrahltriebwerk); ε = Gleitzahl; m₀ = Flugzeugmasse am Startpunkt der Berechnung; m_t = verbrauchte Treibstoffmenge während des Reiseflugsegments. Es ist dringend auf konsistente Einheiten zu achten, da der spezifische Kraftstoffverbrauch oft in unterschiedlichen Einheiten angegeben wird.

Für Flüge im schallnahen Bereich (Ma>0,7) ist die Fluggeschwindigkeit v entsprechend v = Ma·a zu korrigieren, wobei Ma die Machzahl und a die Schallgeschwindigkeit in der Flughöhe ist. Bei einer Veränderung von einem oder mehreren Flugparametern während des Reisefluges stellt die Breguet'sche Formel lediglich eine mehr oder weniger genaue Näherung dar.

Abhilfe schafft in solchen Fällen eine Aufteilung des Reisefluges in mehrere Segmente, wobei die Genauigkeit des berechneten Reichweitenwertes mit der Segmentanzahl gesteigert werden kann. Es sei außerdem darauf hingewiesen, dass für die maximale Reichweite unterschiedliche Gleitzahlen für Propellerflugzeuge und Turboluftstrahlflugzeuge verwendet werden müssen.

Herleitung

Die Breguet’sche Reichweitenformel erhält man durch Integration der Differentialgleichung für den Treibstoffverbrauch bzw. der Definition für den spezifischen Kraftstoffverbrauch. Für den Propellerantrieb:

$\frac{dm}{dt} = \frac{c_P\cdot P}{g} \to dt = \frac{g}{c_P \cdot P}\cdot dm$

P = Triebwerksleistung; g = Fallbeschleunigung

Für den Turboluftstrahlantrieb:

$\frac{dm}{dt} = \frac{c_T\cdot F}{g} \to dt=\frac{g}{c_T \cdot F}\cdot dm$

F = Triebwerksschub; g = Fallbeschleunigung

Die Reichweite ist definiert durch die Formel für unbeschleunigte Bewegung:

$v = \frac{dR}{dt}$

$dR = v\cdot\frac{g}{c_P \cdot P}\cdot dm$

$dR = v\cdot\frac{g}{c_T \cdot F}\cdot dm$

Im Reiseflug ist der Auftrieb gleich dem Gewicht des Flugzeuges, sowie der Widerstand gleich dem Schub:

$A = G \to q\cdot S\cdot C_\mathrm{A} = m\cdot g$

q = Staudruck; S = Bezugsfläche; C_A = Auftriebsbeiwert Gesamtflugzeug

$W=F \to q\cdot S\cdot C_\mathrm{W} = F$

q = Staudruck; S = Bezugsfläche; C_W = Widerstandsbeiwert Gesamtflugzeug

Für das Kolbentriebwerk gilt außerdem:

$\eta \cdot P = F\cdot v$

Damit erhält man die Differentialgleichung für die Reichweite.

Propellerantrieb:

$dR = \frac{\eta \cdot C_\mathrm{A}}{c_P \cdot C_\mathrm{W}}\frac{1}{m}\cdot dm=\frac{\eta}{c_P \cdot \epsilon}\frac{1}{m}\cdot dm$

Turboluftstrahlantrieb:

$dR = \frac{v \cdot C_\mathrm{A}}{c_T \cdot C_\mathrm{W}}\frac{1}{m}\cdot dm = \frac{v}{c_T \cdot \epsilon}\frac{1}{m}\cdot dm$

Durch einfache Integration vom Anfangs- zum Endzustand erhält man:

$R = \frac{\eta}{c_P\cdot\epsilon}\cdot \ln\left(\frac{m_A}{m_E}\right)$

$R = \frac{v}{c_T\cdot\epsilon}\cdot \ln\left(\frac{m_A}{m_E}\right)$

Wenn sich die Masse zu Anfang und Ende des Reisefluges nur durch die verbrannte Treibstoffmasse unterscheidet, erhält man die in der Definition erwähnten Formeln. Daraus wird auch schon ersichtlich, dass für eine exakte Bestimmung der Reichweite mit Hilfe der Breguet’schen Formel alle Flugparameter (Masse, Geschwindigkeit/Leistung, Flughöhe, Gleitzahl) während des gesamten berechneten Reisefluges konstant sein müssen. Ist dies nicht der Fall, so stellt die Gleichung nur eine Näherung dar.