Bäckertransformation

Die Bäcker-Transformation (englisch baker's map) wurde nach dem Vorgang des Teigknetens benannt: Ein Teig wird in die doppelte Länge gezogen und dann zusammengefaltet, so dass die beiden Enden übereinander liegen. Diese Prozedur wiederholt sich, bis eine gute Vermischung entstanden ist. Zwei Teilchen, die ursprünglich nahe beisammen waren, sind nach kurzer Zeit weit voneinander entfernt. Nach wenigen Anwendungen der Transformation ist das Ursprungsbild nicht mehr rekonstruierbar. Die unten stehende Gleichung beschreibt die Position eines einzelnen Teilchens ("Rosine") nach genau einem Transformationsschritt. Die Transformation nach mehreren Schritten ist quasi-chaotisch und wird iterativ berechnet.

Formale Beschreibung

Die ersten 50 Iterationen der Bäcker-Transformation für den Anfangswert 0.0123456789

Formal kann diese Prozedur so beschrieben werden, dass die Bäcker-Transformation eine Funktion des Einheitsintervalls (entspricht einem eindimensionalen Teig) in sich ist, d.h. $f : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ mit

$f(x) := \begin{cases} 2x & \mbox{falls } x \in [0, 1/2] \\ -2x + 2 & \mbox{falls } x \in (1/2, 1] \end{cases}$