Elitäre Primzahl

In der Zahlentheorie wird eine Primzahl p elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen $F_n=2^{2^n}+1$ quadratische Reste modulo p sind.

Ihren Namen verdanken sie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte.^[1] Aigner nannte diese Primzahlen elitär, da sie nur sehr selten auftauchen; er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen, die kleiner als 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung F_{n + 1} = (F_n − 1)² + 1 erfüllen, wird die Kongruenzfolge (F_n mod p) ab einem bestimmten Index s periodisch, d.h. es existiert eine minimale natürliche Zahl L derart, dass $F_{s+k+L}\equiv F_{s+k}$ (mod p) für alle natürlichen Zahlen k gilt. Die Terme $F_s, F_{s+1},\ldots, F_{s+L-1}$ werden als Fermat-Reste von p bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl p genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo p sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, ...

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl C(x) aller elitärer Primzahlen $\leq x$ die Abschätzung $C(x)=O\left(\tfrac{x}{\ln^2(x)}\right)$ erfüllt.^[2]

Einzelnachweise

1. ↑ A. Aigner, Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind. Monatshefte Mathematik 101 (1986), 85-93
2. ↑ Krizek et al., On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers. Journal of Number Theory 97 (2002), 95-112

Weblinks

• Alain Chaumont, Tom Müller: All Elite Primes Up to 250 Billion. In: Journal of Integer Sequences. 9, Nr. 06.3.8, 2006.