- Abschließbarer Operator
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Abgeschlossene Operatoren werden in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, betrachtet. Es handelt sich dabei um lineare Operatoren mit einer bestimmten topologischen Eigenschaft, die schwächer als Stetigkeit ist. Diese spielen eine bedeutende Rolle in der für die Quantenmechanik wichtige Theorie der dicht-definierten Operatoren.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Seien X und Y normierte Räume,
ein Unterraum und
ein linearer Operator. Man nennt
den Graphen von T und bezeichnet ihn mit G(T). Der Graph von T ist ein Untervektorraum des normierten Raums
.
Man nennt T abgeschlossen, wenn der Graph G(T) eine abgeschlossener Untervektorraum ist.
Man nennt T abschließbar, wenn der abgeschlossene Untervektorraum
der Graph eines linearen Operators ist; dieser lineare Operator wird dann der Abschluss von T genannt und mit
bezeichnet.
Der Begriff des Graphen einer Funktion bzw. eines Operators ist eigentlich entbehrlich, denn in einer mengentheoretischen Definition der Funktion ist die Funktion durch ihren Graphen definiert. Dann kann man direkt von der Abgeschlossenheit bzw. vom Abschluss von T reden.
Charakterisierungen
Mit obigen Bezeichnungen ist
genau dann abgeschlossen, wenn folgendes gilt: Ist (xn)n eine Folge in D mit
und
, so ist
und Tx = y.
(Dies findet man häufig als Definition der Abgeschlossenheit von Operatoren. Es handelt sich dabei lediglich um die Charakterisierung der Abgeschlossenheit von G(T) im metrischen Raum
mittels Folgen.)
Weiter ist
genau dann abschließbar, wenn folgendes gilt: Ist (xn)n eine Folge in D mit
und konvergiert (Txn)n gegen ein
, so ist y = 0.
Beispiele
- Sei C[0,1] der Banachraum der stetigen Funktionen
mit der Supremumsnorm, D der Unterraum der stetig differenzierbaren Funktionen und
sei der Ableitungsoperator, d.h.
. Dieser Operator ist abgeschlossen. Das ist offenbar äquivalent zu einem bekannten Satz aus der elementaren Analysis über Grenzwerte differenzierbarer Funktionen, der im Artikel Gleichmäßige Konvergenz unter Differenzierbarkeit besprochen ist.
- Ist
der Folgenraum der quadratisch summierbaren Folgen mit der üblichen Hilbertraum-Norm,
und ist
definiert durch T(xn)n: = (nxn)n, so ist T ein abgeschlossener Operator, der nicht stetig ist.
- Wir betrachten wieder den Hilbertraum
. Sei D der dichte Untervektorraum aller endlichen Folgen. Dann ist der durch
definierte Operator
nicht abschließbar. (Man beachte, dass die Reihe in obiger Definition stets endlich ist, T also wohldefiniert ist.)
- Ist
stetig, so ist T abgeschlossen, denn aus
und
folgt wegen der Stetigkeit sofort Tx = y. Sind X und Y Banachräume, so gilt die Umkehrung. Das ist gerade die Aussage des berühmten Satzes vom abgeschlossenen Graphen.
Hilberträume
Seien X und Y Hilberträume und
wie oben. Man sagt, T sei dicht-definiert, wenn der Untervektorraum
dicht liegt. In diesem Fall ist der adjungierte Operator T * von T erklärt. Dies vereinfacht die Untersuchung abschließbarer bzw. abgeschlossener Operatoren, denn es gelten folgende Aussagen für einen dicht-definierten Operator
:
- T ist genau dann abschließbar, wenn T * dicht-definiert ist.
- Ist T abschließbar, so gilt
und
- Ist T abgeschlossen, so ist T * T ein selbstadjungierter Operator.
Anwendungen
In der Quantenmechanik ist der Nachweis der Selbstadjungiertheit dicht-definierter Operatoren in Hilberträumen von fundamentaler Bedeutung, denn solche Operatoren sind genau die quantenmechanischen Observablen. Häufig ist der Nachweis, dass der in Rede stehende Operator symmetrisch ist, recht einfach. Dann kann folgender Satz weiter helfen:
Sei X ein Hilbertraum,
ein dichter Unterraum und
ein abgeschlossener und symmetrischer Operator. Dann sind folgende Aussage äquivalent, wobei
der identische Operator sei.
- T ist selbstadjngiert.
- Die Operatoren
sind injektiv.
- Die Operatoren
sind surjektiv.
- Die Operatoren
haben dichtes Bild in X.
Dabei ist i die imaginäre Einheit, und der Definitionsbereich von
, bzw.
ist der von T * bzw. T.
In der Quantenmechanik betrachtet man oft nicht die selbstadjungierten Operatoren auf ihrem kompletten Definitionsbereich, sondern nur auf einem Unterraum, dessen Elemente angenehme Eigenschaften haben. So schränkt man in L2-Räumen definierte Operatoren
gerne auf Räume differenzierbarer Funktionen ein, z.B. auf Räume beliebig oft differenzierbarer Funktionen, insbesondere wenn die betrachteten Operatoren Differentialoperatoren sind. Dabei wählt man solche Untervektorräume D0, so dass der Abschluss des eingeschränkten Operators
wieder T ist. Solche Unterräume D0 nennt man einen Kern von T. Viele quantenmechanische Rechnungen werden nur auf solchen Kernen ausgeführt, anschließend setzt man die gefundenen Beziehungen zwischen Operatoren durch die Abschluss-Operation fort.
Quellen
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0-12-393301-3
- H. Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-583-5
- Sei C[0,1] der Banachraum der stetigen Funktionen
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