Woodbury-Matrix-Identität

Woodbury-Matrix-Identität

Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury[1][2] besagt, dass das Inverse einer Rang-k Korrektur einer Matrix A als eine Rang-k Korrektur von A − 1 ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet[4]

 \left(A+UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1}+VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1},

wobei A, U, C und V Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist A eine n \times n-Matrix , U eine n \times k-Matrix, C eine k \times k-Matrix und V eine k \times n-Matrix.

Im Spezialfall C = 1, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn C die Einheitsmatrix I ist, wird die Matrix I + VA − 1U oft Kapazitäts-Matrix genannt.[3]

Inhaltsverzeichnis

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen in denen A−1 bereits berechnet ist und (A + UCV)−1 benötigt wird. Mit der Inversen von A, ist es nur nötig die Inverse C−1 + VA−1U zu berechnen. Wenn C viel kleinere Dimension hat als A, ist das viel effizienter als A + UCV direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Max A. Woodbury, Inverting modified matrices, Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp MR38136
  2. Max A. Woodbury, The Stability of Out-Input Matrices. Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR32564
  3. a b William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457. JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
  4. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM 2002, MR 1927606, ISBN 978-0-89871-521-7
  5. Byrd Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.

Weblinks


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