- Woodbury-Matrix-Identität
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Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury[1][2] besagt, dass das Inverse einer Rang-k Korrektur einer Matrix A als eine Rang-k Korrektur von A − 1 ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]
Die Woodbury-Gleichung lautet[4]
wobei A, U, C und V Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist A eine -Matrix , U eine -Matrix, C eine -Matrix und V eine -Matrix.
Im Spezialfall C = 1, wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn C die Einheitsmatrix I ist, wird die Matrix I + VA − 1U oft Kapazitäts-Matrix genannt.[3]
Inhaltsverzeichnis
Anwendung
Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen in denen A−1 bereits berechnet ist und (A + UCV)−1 benötigt wird. Mit der Inversen von A, ist es nur nötig die Inverse C−1 + VA−1U zu berechnen. Wenn C viel kleinere Dimension hat als A, ist das viel effizienter als A + UCV direkt zu invertieren.
Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Max A. Woodbury, Inverting modified matrices, Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton, NJ, 1950, 4pp MR38136
- ↑ Max A. Woodbury, The Stability of Out-Input Matrices. Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR32564
- ↑ a b William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457. JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
- ↑ Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd, SIAM 2002, MR 1927606, ISBN 978-0-89871-521-7
- ↑ Byrd Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.
Weblinks
- Some matrix identities
- Eric W. Weisstein: Woodbury formula. In: MathWorld. (englisch)
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