Colimes

In verschiedenen Gebieten der Mathematik wird der kategorientheoretische Begriff Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) benutzt, um das mengentheoretische Konzept der Vereinigung zu verallgemeinern.

Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)

Es sei I eine feste teilgeordnete Menge.

Ein induktives System besteht aus der Angabe von Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) X_i für die Elemente i von I sowie Übergangsabbildungen

$f_{ij}\colon X_i\to X_j$ für i < j,

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d.h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume).

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i,f_ij) ist ein Objekt colim_nX_n zusammen mit Abbildungen

$u_i\colon X_i\to\mathrm{colim}_n\,X_n$,

die mit den f_ij kompatibel sind, d.h.

$u_i = u_j\circ f_{ij}$ für i < j

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der X_i in ein "Testobjekt" T entsprechen Abbildungen von colim_nX_n nach T.

Das bedeutet: wann immer Abbildungen $t_i\colon X_i\to T$ gegeben sind, für die

$t_i=t_j \circ f_{ij}$ für i < j

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

$c\colon\mathrm{colim}_n\,X_n\to T$,

von der die Abbildungen t_i "herkommen", d.h.

$t_i = c\circ u_i$.

Konstruktion für Mengen

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i, f_i,j) von Mengen kann konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen: In der disjunkten Vereinigung

$\coprod_i X_i$

sollen Elemente äquivalent sein, die von den f_i,j auf gleiche Elemente abgebildet werden.