Cosinus Hyperbolicus

Cosinus Hyperbolicus
Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x2y2 = 1 im Punkt (\cosh\,a,\sinh\,a), wobei a für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die x-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (circulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; als Funktionen tragen sie die Symbole sinh bzw. cosh. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoid (Kettenlinie) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

  • Sinus Hyperbolicus
\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)
  • Kosinus Hyperbolicus
\cosh x =  \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)

Eigenschaften

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  1 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x ≤ 0 streng monoton fallend
x ≥ 0 streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
 a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}  a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}
 a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x}  a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 0
Wendepunkte x = 0 keine

Spezielle Werte

\sinh(\ln\phi) =\tfrac12 mit dem goldenen Schnitt φ

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man Areasinus Hyperbolicus:

\operatorname{arsinh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ .

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man Areakosinus Hyperbolicus:

\operatorname{arcosh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ .

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:


\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x  &= \cosh x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x  &= \sinh x
\end{align}

Integrale


\begin{align}
\int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\
\int \cosh x \, dx &= \sinh x + C
\end{align}

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:


\begin{align}
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac16 x^3 + \frac {1}{120} x^5 + \dots\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots
\end{align}

Produktentwicklungen


\begin{align}
&\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right)
\qquad\qquad\quad\\
&\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\
&\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)
\end{align}

Komplexe Argumente

Mit x,y \in \mathbb{R} gilt:


\begin{align}
\sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\
\cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\
\end{align}

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichungen

Die Funktion

f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x) mit  a,b \in \mathbb{R}

löst die Differentialgleichung

f''(x) - f(x) = 0\ .

Zusammenhänge


\begin{align}
\cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1\\
\cosh^2 x + \sinh^2 x &= \cosh 2x\\
2\cdot \cosh^2 x &= 1 + \cosh 2x\\
\end{align}

Eulersche Identität


\begin{align}
\cosh x + \sinh x &= e^{x}\\ 
\end{align}

Additionstheoreme


\begin{align}
\sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y &\pm \cosh x \sinh y\\
\cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y &\pm \sinh x \sinh y
\end{align}

insbesondere gilt für x = y:

\sinh 2x = 2\cdot\sinh x \cosh x\

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Siehe auch

Weblinks


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