Cosinus hyperbolicus

Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x² − y² = 1 im Punkt $(\cosh\,a,\sinh\,a)$, wobei a für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die x-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (circulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; als Funktionen tragen sie die Symbole sinh bzw. cosh. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoid (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen

• Sinus Hyperbolicus

$\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)$

• Kosinus Hyperbolicus

$\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)$

Eigenschaften

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.

	Sinus Hyperbolicus	Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich	$- \infty < x < + \infty$	$- \infty < x < + \infty$
Wertebereich	$- \infty < f(x) < + \infty$	$1 \le f(x) < + \infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	x ≤ 0 streng monoton fallend x ≥ 0 streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische Funktionen	$a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}$	$a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}$
	$a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x}$	$a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}$
Nullstellen	x = 0	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei x = 0
Wendepunkte	x = 0	keine

Spezielle Werte

$\sinh(\ln\phi) =\tfrac12$ mit dem goldenen Schnitt φ

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man Areasinus Hyperbolicus:

$\operatorname{arsinh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\$.

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man Areakosinus Hyperbolicus:

$\operatorname{arcosh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\$.

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x &= \cosh x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x &= \sinh x \end{align}$

Integrale

$\begin{align} \int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\ \int \cosh x \, dx &= \sinh x + C \end{align}$

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

$\begin{align} \sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac16 x^3 + \frac {1}{120} x^5 + \dots\\ \cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots \end{align}$

Produktentwicklungen

$\begin{align} &\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right) \qquad\qquad\quad\\ &\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\ &\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right) \end{align}$

Komplexe Argumente

Mit $x,y \in \mathbb{R}$ gilt:

$\begin{align} \sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\ \cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\ \end{align}$

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichungen

Die Funktion

$f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x)$ mit $a,b \in \mathbb{R}$

löst die Differentialgleichung

$f''(x) - f(x) = 0\$.

Zusammenhänge

$\begin{align} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1\\ \cosh^2 x + \sinh^2 x &= \cosh 2x\\ 2\cdot \cosh^2 x &= 1 + \cosh 2x\\ \end{align}$

Eulersche Identität

$\begin{align} \cosh x + \sinh x &= e^{x}\\ \end{align}$

Additionstheoreme

$\begin{align} \sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y &\pm \cosh x \sinh y\\ \cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y &\pm \sinh x \sinh y \end{align}$

insbesondere gilt für x = y:

$\sinh 2x = 2\cdot\sinh x \cosh x\$

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Siehe auch

• Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus