Danielewski-Fläche

In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes $\C^2$ dar und hat aus Sicht der Komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie $\C^2$.

Definition

Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche $S \subset \C^3$, die als Nullstellenmenge eines Polynoms $x^n \cdot y - p(z) \in \C[x,y,z]$ definiert ist, wobei $p \in \C[z]$ ein Polynom in einer Variablen ist.

Elementare Eigenschaften

• Im Spezialfall $n = 1, \; p(z) = z$ ist $S = \left\{(x,y,z) \in \C^3 : x \cdot y = z \right\}$ isomorph zu $\C^2$.
• Genau dann, wenn das Polynom p nur einfache Nullstellen hat, ist S nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
• Sei $p(z) = (z-a_1)\cdot(z-a_2)\cdots(z-a_m)$ mit paarweise verschiedenen a_i,a_j. Dann gilt:

$S = \left\{ (x,p(z)/x^n,z) \in \C^3, x \neq 0 \right\} \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_1 \right\} \dot{\cup} \dots \dot{\cup} \left\{ x = 0, z = a_m \right\}$

d.h. S besteht im Prinzip aus $\C^* \times \C$ und m Kopien von $\C$, die daran angeklebt sind.

Automorphismengruppe

Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall $\C^2$, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von $\C^2$ lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.

Weblinks

• Automorphisms of Danielewski surfaces (pdf, engl.) (125 kB)