De Mere-Paradoxon

Das De Méré-Paradoxon ist ein mathematisches Paradoxon aus dem 17. Jahrhundert, welches nach Chevalier de Méré benannt wurde.

Geschichte des Paradoxons von de Méré

Als der damals bekannte französische Glücksspieler Chevalier de Méré den seinerzeit sehr geschätzten Wissenschaftler und Mathematiker Blaise Pascal traf, stellte er ihm eine Frage bezüglich des Glücksspiels. Als ihm Pascal seine Antwort präsentierte, war dieser nicht sonderlich überrascht, weil er bereits die Antwort kannte. Pascal hat zwar das Problem gelöst, aber den scheinbaren Widerspruch nicht.

Das Paradoxon

Wirft man einmal einen Laplace-Würfel, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 zu würfeln, ein Sechstel.

Wirft man einmal zwei Laplace-Würfel, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Doppelsechs zu würfeln, im Vergleich zur vorher genannten Wahrscheinlichkeit sechsmal geringer, sie beträgt nämlich 1/36.

Wirft man 4 mal einen Laplace-Würfel, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine 6 zu würfeln, über 50%.

Wirft man 24 mal zwei Laplace-Würfel so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Doppelsechs zu würfeln, unter 50%.

Das Paradoxon ist, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim letzten Experiment um den Faktor 6 kleiner als die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim vorletzten Experiment, die Anzahl der Würfe hingegen 6 mal so groß. Bei oberflächlicher Betrachtung könnte man daher annehmen, dass sich dies kompensiert und die Erfolgswahrscheinlichkeiten bei den beiden letzten Experimenten gleich sind.

Bei genauerer Betrachtung ist dies jedoch nicht der Fall.

Erklärung des Paradoxons

Beim 1. Versuch ist

$P(\text{mind. eine Sechs})=1-P(\text{keine Sechs})=1-\left(\frac56\right)^4\approx 0{,}5177 \approx 52%$

Beim 2. Versuch ist

$P(\text{mind. eine Doppelsechs})=1-P(\text{keine Doppelsechs})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}4914 \approx 49%$

Dies überraschte und befriedigte de Méré nicht, weil er dieses Ergebnis schon kannte.

Er wollte den Widerspruch gelöst haben, warum sich die Ergebnisse nicht proportional wie 4:6 = 24:36 verhielten.

In dem 1718 erschienen Buch „Doctrine of Chances“ wies Abraham de Moivre darauf hin, dass die „Proportionalitätsregel der kritischen Werte nicht weit von der Wahrheit entfernt ist“.

Mit „kritischem Wert“ ist die Mindestanzahl n an Würfen gemeint, die nötig ist, damit die Versuchs-Erfolgswahrscheinlichkeit über 50 % liegt.

Der kritische Wert n ist die kleinste natürliche Zahl so dass gilt $1-(1-p)^n>\frac12$ , gleichbedeutend mit

$n>\frac{\ln\frac12}{\ln(1-p)} =\frac{\ln\frac12}{-p-\frac{1}{2} p^2-\frac{1}{3} p^3- \ldots} =\frac{\ln 2}{p+\frac{1}{2} p^2+\frac{1}{3} p^3+ \ldots}$.

Hierbei wurde die Logarithmus-Potenzreihenentwicklung verwendet.

Mittels Landau-Symbolik lässt sich der letzte Term schreiben als $\frac{\ln 2}{p+o(p)}$.

Für genügend kleine 0 < p < 1 gilt daher die Näherung $np\approx \ln 2\approx 0{,}6931$ hinreichend gut.

Im 1. Versuch ist $p_1=\frac16$ und $n_1=4 \Rightarrow n_1p_1\approx 0{,}6666$ und im 2. Versuch ist $p_2=\frac{1}{36}$ und $n_2=24 \Rightarrow n_2p_2\approx 0{,}6666$.