Dirac'sche Konstante

Erinnerungstafel – Humboldt-Universität zu Berlin

Das plancksche Wirkungsquantum h ist eine fundamentale Naturkonstante der Quantenphysik. Es tritt bei der Beschreibung von Quantenphänomenen auf, bei denen physikalische Eigenschaften nicht jeden beliebigen kontinuierlichen Wert, sondern nur bestimmte diskrete Werte annehmen können.

Das plancksche Wirkungsquantum verknüpft Teilchen- und Welleneigenschaften, es ist das Verhältnis von Energie und Frequenz eines Lichtquants oder eines Teilchens.

Definition

Der Wert des planckschen Wirkungsquantums beträgt

$h = 6{,}62606896(33) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} = 4{,}13566733(10) \cdot 10^{-15}\,\rm{eVs}$ ^[1]

und hat demnach die Dimension von Energie mal Zeit, also einer Wirkung oder eines Drehimpulses.

Häufig wird statt h auch das so genannte „reduzierte plancksche Wirkungsquantum“ $\hbar$ (sprich „ha quer”) verwendet mit:

$\hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}054571628(53) \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} = 6{,}58211899(16) \cdot 10^{-16}\,\rm{eVs},$ ^[1]

wobei π die Kreiszahl (pi) ist. $\hbar$ wurde in der Vergangenheit gelegentlich auch nach Paul Dirac als „Diracsche Konstante“ bezeichnet^[2].

In Unicode liegen die Symbole für das plancksche Wirkungsquantum und das reduzierte plancksche Wirkungsquantum auf Position U+210E (ℎ) bzw. U+210F (ℏ).

Lichtquanten

Max Planck führte die Konstante h (von Hilfsgröße) im Jahr 1900 zunächst nur als Hilfsmittel zur Lösung des Problems der Strahlungsverteilung schwarzer Körper (auch bezeichnet als Schwarzkörperstrahlung oder Hohlraumstrahlung) ein^[3]. Nach der klassischen Ableitung (→ Rayleigh-Jeans-Gesetz) hätte die Intensität mit steigender Frequenz immer größer werden müssen (was der Realität widerspricht und als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wird).

Planck fand seine Strahlungsformel durch Betrachtungen zur Entropie. Er konnte seine Formel mit der Annahme erklären, dass Strahlung der Frequenz ν nur in Energiepaketen der Größe E = hν emittiert und absorbiert werden kann. Das Wirkungsquantum ist hier eine Proportionalitätskonstante, deren Größe sich aus der Anpassung an die experimentell ermittelten Werte der Hohlraumstrahlung ergibt.

Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter der Energie zunächst für eine Folge der Eigenschaft der Strahlungsquelle. Erst Albert Einstein postulierte 1905 zur Erklärung des photoelektrischen Effektes die Lichtquantenhypothese, derzufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht elektromagnetische Strahlung mit einer Frequenz ν aus teilchenartigen Objekten, wobei jedes dieser Energiequanten eine Energie

$E = h\,\nu$

besitzt^[4].

Materiewellen

Im Jahr 1924 schrieb Louis de Broglie auch Teilchen wie Elektronen Welleneigenschaften zu. Er verknüpfte den Impuls $\vec p$ mit der Wellenlänge λ zu p = h / λ, beziehungsweise vektoriell als

$\vec p = \hbar\,\vec k$

mit dem Wellenzahlvektor $\vec k$ vom Betrag $|\vec k|=2\pi/\lambda$. Die Richtung von $\vec k$ ist die Bewegungsrichtung des Teilchens.

Für die Energie E und die Kreisfrequenz ω = 2πν gilt ebenso wie bei Photonen

$E=\hbar\,\omega.$

Drehimpuls

Plancks Motivation für die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war zunächst alleine die Dimension der Konstanten. Erst in dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell des Wasserstoffatoms trat das Wirkungsintegral eines um den Atomkern kreisenden Elektrons über einen geschlossenen Umlauf als quantisierte Größe in Erscheinung. Aus dieser Quantisierungsbedingung folgt, dass der Drehimpuls $\vec L$ des Elektrons nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar$ annehmen kann.

Genauer ergibt sich in der Quantenmechanik für den Betrag des Bahndrehimpulses $\vec{L}$

$|\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)} \hbar.$

Im Wasserstoffatom kann die Bahndrehimpulsquantenzahl l ganzzahlige Werte von 0 bis n − 1 annehmen, wobei $n=1,2,\dots$ die Hauptquantenzahl ist.

Die Komponente des Drehimpulses entlang einer beliebigen Achse kann jedes ganzzahliges Vielfache $\hbar m$ des planckschen Wirkungsquantums annehmen, wobei der Betrag von m durch l beschränkt ist, $|m|\le l$.

Als Spin eines Teilchens kann die Drehimpulsquantenzahl l halb- oder ganzzahlig sein; für m treten dabei die 2l + 1 verschiedenen Werte $m=-l,-l+1, \ldots, l$ auf.

Unschärferelation

In der heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt das (reduzierte) plancksche Wirkungsquantum als Wert des Kommutators zwischen Orts- und Impulsoperator auf,

$\left[ X,P \right] = \mathrm{i} \hbar.$

Als Folge gilt die heisenbergsche Unschärferelation für das Produkt der Orts- und der Impulsunschärfe,

$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.$

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2007): The 2006 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants (Web Version 5.0)]. This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov/constants [2007, May 11]. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899
2. ↑ Die Ein-Zeichen-Notation für das reduzierte plancksche Wirkungsquantum wurde im Jahr 1926 von P. A. M. Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z.B. in M. Jammer, „The Conceptual Development of Quantum Mechanics“, McGraw-Hill, New York (1966), S. 294. Diracs Originalarbeit: P. A. M. Dirac, „Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom“, Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), 561–579.
3. ↑ M. Planck: "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum", Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am 14.12.1900)
4. ↑ Albert Einstein: Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik, 17 (1905), S. 133 und S. 143. (Online-Dokument:[1]).

Literatur

• Domenico Giulini, „Es lebe die Unverfrorenheit!“ – Albert Einstein und die Begründung der Quantentheorie, online, in: Herbert Hunziker, Der jugendliche Einstein und Aarau, Birkhäuser 2005, ISBN 3-7643-7444-6
• Enrico G. Beltrametti: One Hundred Years of h. Italian Physical Soc., Bologna 2002, ISBN 88-7438-003-8

Weblinks

• CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants beim NIST

• Wie Max Planck auf die Idee der Quantentheorie kam – von Armin Hermann
• Was ist das Wirkungsquantum?- von Dr. Jörg Resag