Ebers-Moll Modell

Um das Verhalten eines Bipolartransistors oder Feldeffekttransistors auch in komplexen Schaltungen berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes, Modell. Hierbei werden verschiedene Stufen der Abstraktion verwendet. Hierbei werden meist einfache Modelle zur Dimensionierung und komplexere Modelle bzw. deren Ersatzschaltbild zur Schaltungssimulation verwendet.

Theoretisch wäre auch eine exakte Berechnung des physikalischen Verhaltens beispielsweise über eine Monte-Carlo-Simulation möglich, aber schon in relativ einfachen elektrischen Netzwerken übersteigt der Rechenaufwand einer solchen Simulation die Leistung heutiger Computer. Die Modelle dienen daher zur Vereinfachung und hinreichenden Nachbildung der realen Abläufe, um so den Rechenaufwand drastisch zu reduzieren.

Eine weitere Vereinfachung kann durch die Nutzung unterschiedlicher Modelle für den statischen und den dynamischen Betrieb erreicht werden. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.

Der vorliegende Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit der Modellierung des Bipolartransistors, für Informationen über den Aufbau und die Verwendung von Bipolartransistoren wird auf den Hauptartikel verwiesen.

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.

Zeichen	Beschreibung
IB,N	Idealer Basisstrom der Emitter-Diode
IB,I	Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode
IB,E	Basis-Leckstrom der Emitter-Diode
IB,C	Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode
IT	Kollektor-Emitter Transportstrom
ID,S	Strom der Substrat-Diode
RB	Basiswiderstand
RC	Kollektorbahnwiderstand
RE	Emitterwiderstand
CS,E	Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode
CS,Ci	Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
CS,Ce	Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
CS,S	Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode
CD,N	Diffusionskapazität der Emitter-Diode
CD,I	Diffusionskapazität der Kollektor-Diode

Formelzeichen für das statische und dynamische Verhalten

Formelzeichen für das statische Verhalten Zeichen Beschreibung IS Sättigungssperrstrom IS,S Sättigungssperrstrom der Substrat-Diode BN Ideale Stromverstärkung im Normalbetrieb BI Ideale Stromverstärkung im Inversbetrieb IS,E Leck-Sättigungssperrstrom der Emitter-Diode IS,C Leck-Sättigungssperrstrom der Kollektor-Diode nE Emissionskoeffizient der Emitter-Diode nC Emissionskoeffizient der Kollektor-Diode IK,N Kniestrom zur starken Injektion im Normalbetrieb IK,I Kniestrom zur starken Injektion im Inversbetrieb UA,N Early-Spannung im Normalbetrieb UA,I Early-Spannung im Inversbetrieb RBe Externer Bahnwiderstand RBi Interner Bahnwiderstand1) 1) wird in PSpice aus der Gleichung RB = RBe + RBi berechnet.

Formelzeichen für das dynamische Verhalten Zeichen Beschreibung CS0,E Null-Kapazität der Emitter-Diode CS0,C Null-Kapazität der Kollektor-Diode CS0,S Null-Kapazität der Substrat-Diode Udiff,E Diffusionsspannung der Emitter-Diode Udiff,C Diffusionsspannung der Kollektor-Diode Udiff,S Diffusionsspannung der Substrat-Diode mS,E Kapazitätskoeffizient der Emitter-Diode mS,C Kapazitätskoeffizient der Kollektor-Diode mS,S Kapazitätskoeffizient der Substrat-Diode xCSC Aufteilungskoeffizient der Kapazität in der Kollektor-Diode fS Koeffizient für den Kapazitätsverlauf τ0,N Ideale Transitzeit im Normalbetrieb τ0,I Ideale Transitzeit im Inversbetrieb xτ,N Transitzeitkoeffizient im Normalbetrieb xτ,I Transitzeitkoeffizient im Inversbetrieb Uτ,N Transitzeitspannung im Normalbetrieb Uτ,I Transitzeitspannung im Inversbetrieb Uτ,N Transitzeitstrom im Normalbetrieb Uτ,I Transitzeitstrom im Inversbetrieb

Weitere Formelzeichen

Formelzeichen für das thermische Verhalten

Zeichen	Beschreibung
xT,I	Temperaturkoeffizient der Sperrströme
xT.B	Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung

Englische Bezeichnung

Da Datenblätter meist in englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:

Deutsch		Englisch
Bezeichnung	Zeichen	Bezeichnung	Zeichen
Spannung	U	voltage	V
Normalbetrieb	N	forward region	F
Inversbetrieb	I	inverse region	R
Sperrschicht	S	junction	J

Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.

Modelle für das statische Verhalten

Ebers-Moll-Modell

Ebers-Moll-Modell eines npn-Transistors

Das Ebers-Moll-Modell ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll-Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.

Ein npn-Transistor besteht aus zwei antiseriellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll-Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Für den pnp-Transistor werden einfach die Vorzeichen umgedreht.

Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb $A_N \approx 0{,}98 \dots 0{,}998$ sowie den Inversbetrieb $A_I \approx 0{,}5 \dots 0{,}9$ verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau eines realen npn-Transistors zu berücksichtigen.

$I_{D,N} = I_{S,N} \, \left( e^{\frac{U_{BE}}{U_T} } - 1 \right)$

$I_{D,I} = I_{S,I} \, \left( e^{\frac{U_{BC}}{U_T} } - 1 \right)$

$I_C = A_N \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) - I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} -1 \right)$

$I_E = - I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + A_I \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_B = \left( 1 - A_N \right) \, I_{S,N} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \left( 1 - A_I \right) \, I_{S,I} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da U_BC < 0 und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch -1 ersetzt werden, da $U_{BE} \gg U_T$ ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Geichung auf dieselbe Weise erhält.

Reduzierte Ebers-Moll-Modelle für den npn-Transistor

Normalbetrieb	Inversbetrieb
$I_C = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ $I_E = - \frac{1}{A_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ $I_B = - \frac{1 - A_N}{A_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} = \frac{1}{B_N} \, I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$ mit $A_N = - \frac{I_C}{I_E} \approx 0{,}98 \dots 0{,}998$ $B_N = \frac{A_N}{1 - A_N} = - \frac{I_C}{I_B} \approx 50 \dots 500$	$I_C = I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ $I_E = - \frac{1}{A_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ $I_B = - \frac{1 - A_I}{A_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T} = \frac{1}{B_I} \, I_S \, e^\frac{U_{BC}}{U_T}$ mit $A_I = - \frac{I_E}{I_C} \approx 0{,}5\dots 0{,}9$ $B_I = \frac{A_I}{1 - A_I} = - \frac{I_E}{I_B} \approx 1 \dots 10$

Ebers-Moll-Modell im Sättigungsbetrieb

Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hierbei ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE,sat}(I_B,\,I_C)$ interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung

$U_{CE,sat}(I_B,\,I_C) = U_T \, \ln\frac{B_N \, \left( 1 + B_I \right) \, \left( B_I \, I_B + I_C \right)}{ B_I^2 \, \left( B_N \, I_B - I_C \right) }$

Bei $0 &amp;amp;lt; I_C &amp;amp;lt; B_N\, I_B$ gilt $U_{CE,sat} \approx 20 \dots 200 \,\mathrm{mV}$. Das Minimum erhält man bei I_C = 0:

$U_{CE,sat} \left( I_C = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) = - U_T \, \ln A_I$

Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit I_E = 0:

$U_{EC,sat} \left( I_E = 0 \right) = U_T \, \ln \left( 1 + \frac{1}{B_N} \right) = - U_T \, \ln A_N$

Da A_I < A_N < 1 gilt U_EC,sat(I_E = 0) < U_CE,sat(I_C = 0). Dabei gilt üblicherweise $U_{CE,sat}(I_C = 0) \approx 2\dots 20\,\mathrm{mV}$ und $U_{EC,sat}(I_E = 0) \approx 0{,}05 \dots 0{,}5\,\mathrm{mV}$.

Transportmodell

Transportmodell eines npn-Transistors

Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll-Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Die Emitter und Kollektor-Diode wird dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom I_T getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:

$I_{B,N} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right)$

$I_{B,I} = \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_B = I_{B,N} + I_{B,I} = \frac{I_S}{B_N}\, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{B_I}\, \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

$I_T = B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I} = I_S \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)$

$I_C = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BE}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) \, e^\frac{U_{BC}}{U_T} + \frac{1}{B_I} \right]$

$I_E = I_S \, \left[ e^\frac{U_{BC}}{U_T} - \left( 1 + \frac{1}{B_I} \right) \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + \frac{1}{B_N} \right]$

Vereinfachtes Transportmodell für den Normalbetrieb eines npn-Transistors

Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:

$I_C = B_N \, I_B = I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$

$I_B = \frac{I_C}{B_N} = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}$

$I_E = - \left( I_C + I_B \right) = - \left( 1 + B_N \right) \, I_B$

Modellierung statischer Effekte im Transportmodell

Erweitertes Transportmodell eines npn-Transistors

Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Hierbei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen:

• Leckströme
• Hochstromeffekt
• Early-Effekt

Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenhänge:

I_B = I_B,N + I_B,I + I_B,E + I_B,C

$I_C = \frac{B_N}{q_B} \, I_{B,N} - \left( \frac{B_I}{q_B} + 1 \right) \, I_{B,I} - I_{B,C}$

$I_E = - \left( \frac{B_N}{q_B} + 1 \right) \, I_B,N + \frac{B_I}{q_B} \, I_{B,I} - I_{BE}$

was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.

Leckströme

Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt wird werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Dies wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme I_S,E und I_S,C, sowie über die Emmissionskoeffizienten $n_E \approx 1,5$ und $n_C \approx 2$ beschrieben.

$I_{B,E} = I_{S,E} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T} - 1 \right)$

$I_{B,E} = I_{S,C} \, \left( e^\frac{U_{BC}}{n_C \, U_T} - 1 \right)$

Hochstrom- und Early-Effekt

Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.

Zusätzlich beeinflussen die Spannungen U_BE und U_BC die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom I_T aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.

Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die dimensionslose Größe q_B dargestellt.

$I_T = \frac{B_N \, I_{B,N} - B_I \, I_{B,I}}{q_B} = \frac{I_S}{q_B} \, \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - e^\frac{U_{BC}}{U_T} \right)$

q_B ist hierbei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts q_Early und der Größe des Hochstromeffektes q_Hoch zusammen:

$q_B = \frac{q_{\rm Early}}{2} \, \left( 1 + \sqrt{1 + 4\, q_{\rm Hoch}} \right)$

$q_{\rm Early} = \frac{1}{1 - \frac{U_{BE}}{U_{A,I}} - \frac{U_{BC}}{U_{A,N}}}$

$q_{\rm Hoch} = \frac{I_S}{I_{K,N}} \left( e^\frac{U_{BE}}{U_T} - 1 \right) + \frac{I_S}{I_{K,I}} \left( e^\frac{U_{BC}}{U_T} - 1 \right)$

Hierbei sind U_A,N und U_A,I die Early-Spannungen mit $U_A \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}$. I_K,N und I_K,I sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).

Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb

Gummel-Plot mit U_CE = konst.

Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors q_B besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:

$I_C = \frac{B_N \, I_{B,N}}{q_B} = \frac{I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T}}{q_B}$

Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen I_C < I_K,N gilt $q_{\rm Hoch} \ll 1$ und somit $q_B \approx q_{Early}$. Zusätzlich gilt

$U_{BC} = U_{BE} - U_{CS} \approx -U_{CE}$

da $U_{BE} \approx 0{,}6 \dots 0{,}8 \, \mathrm{V}$. Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:

$q_{\rm Early} \approx \frac{1}{1+ \frac{U_{CE}}{U_{A,N}}}$

und durch Einsetzen in I_C erhält man:

$I_C \approx I_S \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Bei großen Strömen $I_C \to \infin$ ist $q_{\rm Hoch} \gg 1$ und somit $q_B \approx q_{\rm Early} \, \sqrt{q_{\rm Hoch}}$. Durch Einetzen erhält man:

$I_C \approx \sqrt{I_S \, I_{K,N}} \, e^\frac{U_{BE}}{2\, U_T} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für I_B die Gleichung

$I_B = \frac{I_S}{B_N} \, e^\frac{U_{BE}}{U_T} + I_{S,E}\, e^\frac{U_{BE}}{n_E \, U_T}$

Stromverstärkung

Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang

$B = \frac{I_C}{I_B} = \frac{B_N}{q_B + B_N \, \left( \frac{q_B}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E} \, I_{S,E} \, I_C^{\frac{1}{n_E}-1}}$

Zudem ist die Stromverstärkung B von U_BE und U_CE abhängig, da auch I_C und q_B von diesen Spannungen abhängig sind.

Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:

1. Leckstrombereich

Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil I_B,E im Basisstrom I_B. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung $I_B \approx I_{B,E}$ und $q_B \approx q_1$. Daraus ergibt sich die Vereinfachung:

$B \approx \frac{I_C^{1-\frac{1}{n_E}}}{I_{S,E} \, \left( \frac{q_1}{I_S} \right)^\frac{1}{n_E}} \sim I_C^{1-\frac{1}{n_E}} \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^\frac{1}{n_E}$

Mit $n_E \approx 1{,}5$ erhält man $B \sim I_C^\frac{1}{3}$. Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom I_C ebenfalls größer.

2. Normalbereich

Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung $I_B \approx I_{B,N}$ und daraus folgend:

$B \approx B_N \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)$

Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von I_C, für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.

3. Hochstrombereich

Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang $I_B \approx I_{B,N}$ erhält man den Zusammenhang:

$B \approx \frac{B_N}{q_B} \approx B_N \, \frac{I_{K,N}}{I_C} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right)^2$

Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu I_C, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.

Abhängigkeit der Verstärkung B vom Kollektorstrom I_C in doppellogarithmischer Darstellung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung U_CE

Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit B_max(U_CE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom I_K,N und kleinem Leckstrom I_S,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt B_max(U_CE) = B_0,max = B_N, wobei B_0,max bei U_CE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < B_N gilt.

Bahnwiderstände

Um Bahnwiderstände erweitertes Transportmodell

Lage der Bahnwiderstände im Halbleiter des Bipolartransistors

Da das Halbleitermaterial für den elektrischen Strom einen Widerstand darstellt, muss dieser Widerstand in Form der Bahnwiderstände dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Emitterbahnwiderstand R_E, dem Kollektorbahnwiderstand R_C und dem Basisbahnwiderstand R_B.

Emitterbahnwiderstand

Aufgrund der starken Dotierung und des geringen Längen-zu-Querschnitt-Verhältnisses des Emitters hat R_E nur einen kleinen Betrag. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_E etwa 0,1 Ω bis 1 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,01 Ω bis 0,1 Ω.

Kollektorbahnwiderstand

Der Kollektorbahnwiderstand wird vor allem durch die schwach dotierte Kollektorzone verursacht. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_C etwa 1 Ω bis 10 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,1 Ω bis 1 Ω.

Basiswiderstand

Der Baisiswiderstand wird aus dem externen Basiswiderstand R_Be und dem internen Basiswiderstand R_Bi gebildet. Der externe Basiswiderstand tritt hierbei zwischen dem Kontakt der Basis und der aktiven Basiszone auf, während der interne Basiswiderstand quer in der aktiven Basiszone zwischen Emitter und Kollektor auftritt. Bei großen Strömen hat der interne Basiswiderstand nur begrenzt Einfluss, da sich der Strom aufgrund der Stromverdrängung an der Basiszone konzentriert. Zusätzlich wirkt der Early-Effekt, der die Dicke der Basiszone beeinflusst. Diese Effekte werden in der Konstante q_B zusammengefasst.

Der Basiswiderstand ergibt sich folglich aus:

$R_B = R_{Be} + \frac{R_{Bi}}{q_B}$

Für den Normalbetrieb folgt durch Auflösen von q_B:

$R_{B} = \begin{cases} R_{Be} + R_{Bi} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A,N}} \right) &amp;amp;amp; {\rm wenn} \quad I_{C} &amp;amp;lt; I_{K,N} \\ R_{Be} &amp;amp;amp; {\rm wenn} \quad I_{C} \to \infty \end{cases}$

Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_Be etwa 10 Ω bis 100 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 1 Ω bis 10 Ω. R_Bi ist hierbei etwa drei- bis viermal so groß wie R_Be.

Substrat-Diode

Lateraler integrierter npn-Transistor

Vertikaler integrierter npn-Transistor

Bei integrierten Transistoren ist bei vertikalen npn-Transistoren zwischen Substrat und Kollektor, sowie bei lateralen pnp-Transistoren zwischen Substrat und Basis, konstruktionsbedingt—wie in den nebenstehenden Abbildungen dargestellt—ein pn-Übergang: die sog. Substrat-Diode. Diese Substrat-Diode wird als herkömmliche pn-Diode üder die Shockley-Formel beschrieben. Hierbei wird für den Sättigungssperrstrom I_S der Sättigungssperrstrom der Substratdiode I_S,S eingesetzt:

$I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SB}}{U_T} - 1 \right)$ (lateral)

$I_{D,S} = I_{S,S} \left( e^\frac{U_{SC}}{U_T} - 1 \right)$ (vertikal)

Da die Substrat-Diode üblicherweise nicht beschalten wird, ist keine Modellierung erforderlich. Bei (fehlerhafter) Beschaltung kann jedoch ein Strom fließen und muss in diesem Fall auch berücksichtigt werden.

Modellierung dynamischer Effekte im Transportmodell

Bei der Ansteuerung mit sinus- oder pulsförmigen Signalen muss auch das dynamische Verhalten des Transistors beachtet werden. Hierzu benötigt man, wie bei der Diode, die im Transistor auftretenden Sperr- und Diffusionskapazitäten.

Sperrschichtkapazitäten

Bei einem einzelnen Bipolartransistor treten zwei und bei integrierten Transistoren drei Sperrschichtkapazitäten auf. Die Emitterdiode ist hierbei durch die Emittersperrschichtkapazität $C_{S,E} \left( U_{B',E'} \right)$ charakterisiert. Die Kollektordiode wird durch die Kollektorsperrschichtkapazität C_C,E beschrieben, welche sich aus der internen Sperrschichtkapazität C_S,Ci der aktiven Zone bei B' und der externen Sperrschichtkapazität C_S,Ce beim Basisanschluss B zusammen. Die Anteile der internen und externen Sperrschichtkapazität an der Kollektorsperrschichtkapazität wird durch den Parameter x_CSC dargestellt:

$\begin{align} C_{S,C} &amp;amp;amp;= C_{S,Ci} + C_{S,Ce}\\ C_{S,Ci} \left( U_{B'C'} \right) &amp;amp;amp;= x_{CSC} \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)\\ C_{S,Ce} \left( U_{B'C'} \right) &amp;amp;amp;= \left( 1 - x_{CSC} \right) \cdot C_{S,C} \left( U_{B'C'} \right)\end{align}$

Bei Einzeltransistoren liegt der Faktor x_CSC meistens zwischen 0,5 und 1, was bedeutet, dass $C_{S,Ce} \le C_{S,Ci}$ ist. Bei integrierten Transistoren ist x_CSC < 0,5 und damit C_S,Ce > C_S,Ci.

Bei integrierten Transistoren tritt zusätzlich die Sperrschichtkapazität der Substratdiode C_S,S auf. Diese wirkt bei integrierten vertikalen npn-Transistoren am internen Kollektor C' und bei integrierten lateralen npn-Transistoren an der internen Basis B'. Daher gilt:

$\begin{align} C_{S,S} &amp;amp;amp;= C_{S,S} \left( U_{SC'} \right) \qquad\text{(vertikal)} \\ C_{S,S} &amp;amp;amp;= C_{S,S} \left( U_{SB'} \right) \qquad\text{(lateral)} \end{align}$

Diffusionskapazitäten

Beim Transistor treten zwei Diffusionskapazitäten auf: die Diffusionskapazität der Emitterdiode C_D,N und die Diffusionskapazität der Kollektordiode C_D,I. In diesen werden die Emitterdiffusionsladung Q_D,N und die Kollektordiffusionsladung Q_D,I gespeichert. Die Diffusionsladungen ergeben sich aus dem Transportstrom I_T, welcher vom Kollektor zum Emitter fließt (siehe auch: Transportmodell).

$Q_{D,N} = \tau_N \, B_N \, I_{B,N} = \tau_N \, I_S \, \left( e^\frac{U_{B'E'}}{U_T} - 1 \right)$

$Q_{D,I} = \tau_N \, B_I \, I_{B,I} = \tau_I \, I_S \left( e^\frac{U_{B'C'}}{U_T} - 1 \right)$

Wobei die Zeitkonstanten τ_N und τ_I als Transit-Zeit bezeichnet werden. Durch Differentiation ergeben sich aus diesen Gleichungen die Diffusionskapazitäten:

$C_{D,N} \left( U_{B'E'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,N}}{\mathrm{d} \, U_{B',E'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',E'}}{U_T}$

$C_{D,I} \left( U_{B'C'} \right) = \frac{\mathrm{d} \, Q_{D,I}}{\mathrm{d} \, U_{B',C'}} = \frac{\tau_N \, I_S}{U_T} \, e^\frac{U_{B',C'}}{U_T}$

Die Diffusionskapazitäten C_D,N und C_D,I treten parallel zu den Sperrschichtkapazitäten C_S,E und C_S,Ci auf. Im Normalbetrieb ist die Kollektor-Diffusionskapazität C_D,I aufgrund der geringen inneren Basis-Kollektor-Spannung U_B',C' im Vergleich zur inneren Kollektor-Sperrschicht-Kapazität C_S,Ci sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. C_D,I kann infolge der Vernachlässigung von C_D,I mit einer konstanten Transitzeit beschrieben werden, wodurch τ_N = τ_0,I angenommen wird.

Wenn der Transitstrom klein ist gilt C_D,N < C_D,N, bei großem Transitstrom hingegen gilt C_D,N > C_D,N. Um dies korrekt darstellen zu können muss τ_N in der Ersatzschaltung genau modelliert werden. Eine Zunahme von τ_N gei großen Strömen wirkt sich als Abnahme der Grenzfrequenzen und der Schaltgeschwindigkeit des Transistors aus.

Aufgrund des Hochstromeffektes nimmt die Diffusionsladung überproportional zu. Die Transitzeit ist daher nicht konstant und nimmt mit steigendem Strom zu. Der Early-Effekt wirkt sich ebenfalls aus, da dieser die effektive Dicke der der Basiszone und damit die in der Basiszone gespeicherte Ladung verändert. Da jedoch mit den Parametern I_K,N und U_A,N keine präzise Beschreibung möglich ist, wird eine empirisch bestimmte Gleichung zur Beschreibung verwendet:

Verlauf von $\frac{\tau_N}{\tau_{0,N}}$ in doppellogarithmischer Darstellung

$\tau_N = \tau_{0,N} \, \left[ 1 + x_{\tau,N} \, \left( 3\,x^2 - 2\,x^3 \right) \, 2^\frac{U_{B'C'}}{U_{\tau,N}} \right]$

wobei der Faktor x für das Polynom über die folgende Gleichung definiert ist:

$x = \frac{B_N \, I_{B,N}}{B_N \, I_{B,N} + I_{\tau,N}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau,N}}{B_N \, I_{B,N}}} = \frac{1}{1 + \frac{I_{\tau_N}}{I_S \, \left( e^{\frac{U_{B'E'}}{U_T}} - 1 \right)}}$

Zusätzlich ist τ₀,N die ideale Transitzeit, $x_{\tau_N}$ der Koeffizient der Transitzeit, I_K,N der Transitzeit-Kniestrom und U_τ,N die Transitzeit-Spannung. Der Koeffizient der Transitzeit $x_{\tau_N}$ gibt hierbei an, wie stark τ_N bei $U_{B'C'} = 0\,\mathrm{V}$ zunehmen kann:

$\lim_{I_{B,B} \to\infty} \tau_N = \tau_{0,N} \,\left( 1 + x_{\tau,N} \right) \quad\forall{U_{B'C'}=0\,\mathrm{V}}$

Die Hälfte der maximalen Zunahme erhält man bei $I_{\tau,N} = B_N\, I_{B,N}$:

$\tau_N = \tau_{0,N} \, \left( 1 + \frac{x_{\tau,N}}{2} \right) \quad\forall \left( B_N \, I_{B,N} = I_{\tau,N} \right) \land \left( U_{B'C'} = 0 \right)$

Daraus folgt, dass wenn die Spannung U_B'C' um den Betrag der Spannung U_τ,N sinkt, steigt τ_N nur noch mit der halben Geschwindigkeit. d. h. für $U_{B'C'} = - n\, U_{\tau,N}$ ist die Zunahme von τ_N um den Faktor 2ⁿ kleiner.

Statisches Kleinsignalmodell

Das statische Kleinsignalmodell beschreibt das Kleinsignalverhalten bei niedrigen Frequenzen und wird deshalb auch als Gleichstrom-Kleinsignalersatzschaltbild bezeichnet.

Aus dem Gummel-Poon-Modell wird durch Linearisierung im Arbeitspunkt das lineare Kleinsignalmodell. Der Arbeitspunkt wird hierbei in einem Bereich gewählt, in dem der Transistor nach erfolger Dimensionierung arbeiten soll. Üblicherweise ist dies der Normalbetrieb, weshalb im Weiteren Modelle für den Normalbetrieb gezeigt werden. Nach denselben Prinzipien kann man jedoch auch Modelle für die anderen Transistor-Betriebsarten erstellen.

Die Linearisierung des Gummel-Poon-Modells erfolgt, indem man die Kapazitäten weglässt – da diese bei Gleichstrom nicht wirken – und die Sperrströme vernachlässigt – also I_B,I, I_B,C und I_D,S gleich Null setzt.

Statisches Kleinsignalmodell durch Vernachlässigung von Kapazitäten und Sperrströmen im Gummel-Poon-Modell

Statisches Kleinsignalmodell nach der Linearisierung von IB und IC

Weiters werden die nichtlinearen Größen $I_B = I_{B,N}\left( U_{B'E'} \right) + I_{B,E} \left( U_{B'E'} \right)$ sowie $I_C = I_T \left( U_{B'E'},U_{C'E'} \right)$ im Arbeitspunkt A linearisiert:

$S = \frac{\part I_C}{\part U_{B'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_T} \, \left( 1 - \frac{U_T}{q_B} \, \frac{\part q_B}{\part U_{B'E'}} \right) \quad\forall{A}$

$\frac{1}{r_{BE}} = \frac{\part I_B}{\part U_{B'E'}} = \frac{I_S}{B_N \, U_T} \, e^\frac{U_{B'E',A}}{U_T} + \frac{I_{S,E}}{n_E \, U_T} \, \frac{U_{B'E',A}}{n_E\, U_T} \quad\forall{A}$

$\frac{1}{r_{CE}} = \frac{\part I_C}{\part U_{C'E'}} = \frac{I_{C,A}}{U_{A,N} + U_{C'E',A} - U_{B'E',A} \, \left( 1 + \frac{U_{A,N}}{U_{A,I}} \right)} \quad\forall{A}$

In der Praxis werden zur weiteren Vereinfachung auch die Bahnwiderstände nicht berücksichtigt. Daraus erhält man das vereinfachte statische Kleinsignalmodell. Bei einer zusätzlichen Vernachlässigung des Early-Effektes durch $r_{BE} \to \infty$ erhält man des Weiteren eine alternative Darstellungsart dieses vereinfachten Modells, welche durch Linearisierung aus dem vereinfachten statischen Kleinsignalmodell erstellt wird. Die alternative Darstellungsart ist aufgrund des vernachlässigten Early-Effekts jedoch nur Ausnahmefällen brauchbar, da die Berechnung anhand dieser Vereinfachung meist zu unbrauchbaren Ergebnissen führt. In der Literatur findet man zudem oft eine Darstellung mit einem zusätzlichen Widerstand zwischen Basis und Kollektor, der sich durch die Linearisierung der Kollektor-Basis-Diode aus dem Ebers-Moll-Modell ergibt, jedoch nicht zur Modellierung des Early-Effekts dient.

Vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell mit vernachlässigten Bahnwiderständen

Umgeformtes vereinfachtes statisches Kleinsignalmodell unter zusätzlicher Vernachlässigung des Early-Effekts

Hierbei gelten die Gleichungen

$r_E = \frac{1}{S + \frac{1}{r_{BE}}} \approx \frac{1}{S}$

$\alpha = \frac{\beta}{1+\beta} = S \, r_{E}$

Modelle für das dynamische Verhalten

Gummel-Poon-Modell

Das Gummel-Poon-Modell, benannt nach seinen geistigen Vätern Hermann Gummel und H. C. Poon, ist das vollständige Modell eines Bipolar-Transistors und wird zur Schaltungssimulation – etwa in PSpice – verwendet. Es basiert auf dem Transportmodell und modelliert alle statischen und dynamischen Effekte in diesem.

Gummel-Poon-Modell eines npn-Bipolartransistors

Falls einige Werte im Datenblatt des Transistors nicht angegeben sind, werden (z. B. in PSpice) Standardwerte verwendet. In PSpice werden hierbei die folgenden Standardwerte verwendet:

Standardwerte des Gummel-Poon-Modell in PSpice

Parameter	IS	BN	BI	nE	nC	xT,I	fS	Udiff,E, Udiff,C, Udiff,S	mS,E, mS,C	xCSC	IS,S, IS,E, IS,C, RB, RC, RE, CS0,E, CS0,C, CS0,S, τ0,N, τ0,I, xτ,N, xT,B, mS,S, Iτ,N	IK,N, IK,I, UA,N, UA,I, Uτ,N
Standardwert	10-16 A	100	1	1,5	2	3	0,5	0,75 V	333·10-3	1	0	∞

Hierbei bedeutet ein Standardwert von 0 oder ∞, dass der entsprechende Parameter so gesetzt wird, dass dieser Parameter keinen Einfluss auf die Berechnung hat und auf diese Weise nicht modelliert wird.

Werte für das Gummel-Poon-Modell ausgewählter Einzeltransistoren

Parameter	PSpice- Bezeichnung	BC547B [1]	BC557B [2]	BUV47 [3]	BFR92P [4]
IS	IS	7 fA	1 fA	974 fA	0,12 fA
BN	BF	375	307	95	95
BI	BR	13)	6,5	20,9	10,7
IS,E	ISE	68 fA	10,7 fA	2,57 pA	130 fA
nE	NE	1,58	1,76	1,2	1,9
IK,N	IKF	82 mA	92 mA	15,7 A	160 mA
UA,N	VAF	63 V	52 V	100 V	30 V
RBe	RBM	10 Ω1)	10 Ω1)	100 mΩ1)	6,2 Ω
RBi2)	—	01)	01)	01)	7,8 Ω
—	RB2)	10 Ω1)	10 Ω1)	100 mΩ1)	15 Ω
RC	RC	1 Ω	1,1 Ω	35 mΩ	140 mΩ
CS0,E	CJE	11,5 pF	30 pF	1,093 nF	1 fF
Udiff,E	VJE	500 mV	500 mV	500 mV	710 mV
mS,E	MJE	672·10-3	333·10-3 3)	333·10-3 3)	347·10-3
CS0,C	CJC	5,25 pF	9,8 pF	364 pF	649 fF
Udiff,C	VJC	570 mV	490 mV	500 mV	850 mV
mS,C	MJC	315·10-3	332·10-3	333·10-3 3)	401·10-3
xCSC	XCJC	13)	13)	13)	130·10-3
fS	FC	500·10-3 3)	500·10-3 3)	500·10-3 3)	500·10-3 3)
τ0,N	TF	410 ps	612 ps	51,5 ns	27 ps
xτ,N	XTF	40	26	205	380·10-3
Uτ,N	VTF	10 V	10 V	10 V	330 mV
Iτ,N	ITF	1,49 A	1,37 A	100 A	4 mA
τ0,I	TR	10 ns	10 ns	988 ns	1,27 ns
xT,I	XTI	33)	33)	33)	33)
xT,B	XTB	1,5	1,5	1,5	1,5
1) Wert nur allgemein angegeben. Bei hohen Frequenzen kommt es zu Ungenauigkeiten. Dies wird im Transistorrauschen berücksichtigt. Andernfalls müsste der korrekte Wert durch Messung am einzelnen Bauteil ermittelt werden. 2) RBi wird in PSpice nicht explizit angegeben. Stattdessen wird RB mit RB = RBM + RBi = RBe + RBi angegeben. 3) entspricht dem Standardwert

Zudem werden in PSpice einige weitere Effekte berücksichtigt, die im PSpice Referenzhandbuch ^[5] beschrieben werden, wofür das in PSpice verwendete Modell entssprechend erweitert wurde.

Dynamisches Kleinsignalmodell

Dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors

Wenn man das vollständige statische Kleinsignalmodell um die Sperrschicht- und Diffuionskapazitäten erweitert erhält man das dynamische Kleinsignalmodell.

Die Emitterkapazität C_E setzt sich aus der Emitter-Sperrschicht-Kapazität C_S,E und der Diffusionskapazität für den Normalbetrieb C_D,N zusammen:

$\begin{align} C_E = &amp;amp;amp;\, C_{S,E} \left( U_{B'E',A} \right)\\ &amp;amp;amp;+ C_{D,N} \left( U_{B'E',A} \right) \end{align}$

Die interne Kollektorkapazität C_Ci entspricht der internen Kollekor-Sperrschicht-Kapazität, da die interne Diffusionskapazität C_D,I wegen $U_{BC} \le 0$ vernachlässigbar klein ist:

$\begin{align} C_{Ci} &amp;amp;amp;= C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right) + C_{D,I} \left( U_{B'C',A} \right) \\ &amp;amp;amp;\approx C_{S,Ci} \left( U_{B'C',A} \right) \end{align}$

Die externe Kollektorkapazität C_Ce und die Substratkapazität C_S entsprechen den jeweiligen Sperrschichtkapazitäten, wobei die Substratkapazität naturgemäß nur bei integrierten Transistoren zu finden ist:

Vereinfachtes dynamisches Kleinsignalmodell des Bipolartransistors

$\begin{align} C_{Ce} &amp;amp;amp;= C_{S,Ce} \left( U_{BC',A} \right)\\ C_S &amp;amp;amp;= C_{S,C} \left( U_{SC',A} \right) \end{align}$

In der Praxis werden der Emitterwiderstand R_E und der Kollektorwiderstand R_C meist vernachlässigt, während der Basiswiderstand R_B nur in Ausnahmefällen vernachlässigt werden kann, da der Basiswiderstand einen starken Einfluss auf das dynamische Verhalten hat. Zudem wird in der Praxis die interne und externe Kollektorkapazität – ausgenommen bei integrierten Transistoren mit einer überwiegend externen Kollektorkapazität – als interne Kollektorkapazität C_C zusammengefasst. Hieraus erhält man das vereinfachte dynamische Kleinsignalmodell:

Grenzfrequenz im Kleinsignalbetrieb

Mit Hilfe des Kleinsignalmodells kann man die Frequenzgänge der Kleinsignalstromvertärkungen α und β, sowie der Transmittanz $\mathbf{Y}_{21,e}$, rechnerisch ermitteln. Die jeweiligen Grenzfrequenzen f_α, f_β, f_Y21e, sowie die Transitfrequenz f_T stellen ein Maß für die Schaltgeschwindigkeit und Bandbreite des Transistors dar. Hierbei gilt der Zusammenhang

$f_\beta &amp;amp;lt; f_{Y21e} &amp;amp;lt; F_T \lessapprox f_\alpha$

Wird der Transistor in Emitterschaltung mit einer Stromquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand R_i von $R_i \ll r_{BE}$ –betrieben, spricht man von einer Stromsteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die β-Grenzfrequenz f_β nach oben begrenzt.

Wird der Transistor hingegen in Emitterschaltung mit einer Spannungsquelle – bzw. mit einer Quelle mit einem Innenwiderstand R_i von $R_i \gg r_{BE}$ –betrieben, spricht man von Spannungssteuerung. Die Grenzfrequenz wird in diesem Fall durch die Steilheitsgrenzfrequenz f_Y21e nach oben begrenzt.

Daraus folgt, dass man bei Spannungssteuerung eine höhere Grenzfrequenz und damit Bandbreite erreichen kann. Dies gilt auch für die Kollektorschaltung. Die größte Bandbreite erreicht jedoch die Basisschaltung bei der allgemein die Bedingung R_i > r_E gilt und damit eine Stromsteuerung vorliegt und die Bandbreite durch die α-Grenzfrequenz f_α nach oben begrenzt wird.

Die Bandbreite der Schaltung ist zusätzlich vom Arbeitspunkt abhängig. In Emitterschaltung mit Stromsteuerung und bei der Basisschaltung erhält man die maximale Bandbreite, indem man den Kollektorstrom I_C,A so einstellt, dass die Transitfrequenz den maximalen Wert erreicht. Bei der Emitterschaltung mit Spannungssteuerung besteht ein komplizierterer Zusammenhang, da zwar die Steilheitsfrequenz f_Y21e mit steigendem Kollektorstrom I_C,A abnimmt, aber gleichzeitig die Schaltung der Kollektorschaltung niederohmiger wird und dadurch die ausgangsseitige Bandbreite der Schaltung erhöht wird.

Betragsfrequenzgänge für $\left| \underline{\alpha}\left( j \, \omega \right) \right|$ und $\left| \underline{\beta}\left( j \, \omega \right) \right|$

Abhängigkeit der Transitfrequenz eines Transistors vom Kollektorstrom

Die Transitfrequenz f_T und die Ausgangskapazität in Basisschaltung C_obo (output, grounded base, open emitter) wird im Datenblatt des Transistors angegeben. Hierbei entspricht C_obo der Kollektor-Basis-Kapazität C_CB. Hieraus ergibt sich:

$C_C \approx C_{obo}$

$C_E \approx \frac{S}{\omega_T} - C_{obo}$

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage, Springer 2002. ISBN 3540428496
• Paul R. Gray, Paul J. Hurst, Stephen H. Lewis, Robert G. Meyer: Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. Wiley 2001. ISBN 0471321680
• Simon M. Sze: Physics of Semiconductor Devices. Wiley 1981. ISBN 0471056618
• Hans-Martin Rein, Roland Ranfft: Integrierte Bipolarschaltungen. Springer 1980, ISBN 3540096078
• Giuseppe Massobrio, Paolo Antognetti: Semicondurctor Device Modelling with SPICE. McGraw-Hill Professional 1998. ISBN 0071349553

Fußnoten und Einzelnachweise

1. ↑ Datenblatt des Transistors BC547B
2. ↑ Datenblatt des Transistors BC557B
3. ↑ Datenblatt des Transistors BUV47
4. ↑ Datenblatt des Transistors BFR92P
5. ↑ Microsim: PSpice A/D Reference Manual