Elementarsymmetrisches Polynom

In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Betrachtet man beispielsweise die Polynome p = X + Y − 1 und q = X + Y², so erhält man durch Vertauschen von X und Y die Polynome

$\tilde p=Y+X-1$ bzw. $\tilde q=Y+X^2$.

Da die Addition kommutativ ist, erhält man im Fall von p also dasselbe Polynom, d. h., p ist symmetrisch in X und Y, im Fall von q erhält man ein anderes Polynom, q ist nicht symmetrisch.

Handelt es sich bei dem Polynom um eine Funktion so spricht man auch von symmetrischen Funktionen beziehungsweise von elementarsymmetrischen Funktionen.

Formale Definition

Es seien n > 1 eine natürliche Zahl, A ein Ring. Dann heißt ein Polynom $p\in A[X_1,\ldots, X_n]$ symmetrisch in $X_1,\ldots,X_n$, wenn

$p(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})=p(X_1,\ldots,X_n)$ für alle Permutationen $\sigma\in S_n$

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

• Für alle $k\ne m$ ist

$p(X_1,\ldots,X_{k-1},X_k,X_{k+1}\ldots,X_{m-1},X_m,X_{m+1},\ldots,X_n)=p(X_1,\ldots,X_{k-1},X_m,X_{k+1},\ldots,X_{m-1},X_k,X_{m+1},\ldots,X_n),$

d. h., man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.

• Es sei

$p=\sum_{e_1\geq0,\ldots,e_n\geq0} a_{e_1,\ldots,e_n}X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}.$

Dann ist p genau dann symmetrisch, wenn

$a_{e_1,\ldots,e_n}=a_{e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(n)}}$ für alle $\sigma\in S_n$

gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von p nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.

• Die symmetrische Gruppe S_n operiert durch

$(\sigma p)(X_1,\ldots,X_n)=p(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)})$

auf dem Polynomring $A[X_1,\ldots,X_n]$. Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn

σp = p für alle $\sigma\in S_n$

gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

$A[X_1,\ldots,X_n]^{S_n}.$

Beispiele

• Das Polynom X + Y ist symmetrisch in X und Y, jedoch nicht symmetrisch in X,Y,Z.

Elementarsymmetrische Polynome

Es seien $T,X_1,\ldots,X_n$ Unbestimmte. Die Koeffizienten von

$(T+X_1)(T+X_2)\cdots(T+X_n)=T^n+\sigma_1 T^{n-1}+\sigma_2 T^{n-2}+\ldots+\sigma_n$

als Polynom in T sind symmetrisch in $X_1,\ldots,X_n$; sie heißen elementarsymmetrische Polynome. Sie sind explizit angebbar als

$\sigma_1=X_1+\ldots+X_n$

$\sigma_2=X_1X_2+\ldots+X_1X_n+X_2X_3+\ldots+X_2X_n+\ldots+X_{n-1}X_n$

$\ldots$

$\sigma_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n}X_{i_1}\cdots X_{i_k}$

$\ldots$

$\sigma_n=X_1\cdots X_n$

Dabei kann man σ_k auch schreiben als

$\sigma_k = \sum_{ S \subseteq \{ 1, \dots, n \} \atop \# S=k} \ \prod_{i \in S} X_i \ .$

Eigenschaften

• Die zentrale Aussage über elementarsymmetrische Polynome ist: Jedes symmetrische Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
  In Formeln:

$A[X_1,\ldots,X_n]^{S_n}=A[\sigma_1,\ldots,\sigma_n].$

• Es seien A ein Integritätsbereich,

$p(T)=T^n+a_1T^{n-1}+a_2T^{n-2}+\ldots+a_n$

ein Polynom mit Koeffizienten in A und $x_1,\ldots,x_n$ die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von p in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von A. Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:

$a_1=-(x_1+\ldots+x_n)$

$a_2=x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_1x_n+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n$

$\ldots$

$a_k=(-1)^k\cdot\sigma_k(x_1,\ldots,x_n)$

$\ldots$

$a_n=(-1)^nx_1\cdots x_n.$

Beispiele

• $X_1^2+\ldots+X_n^2=\sigma_1^2-2\sigma_2$
• $X_1^3+\ldots+X_n^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3$, allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
• Das Polynom

$\Delta(X_1,\ldots,X_n)=\prod_{i<j}(X_i-X_j)^2=(-1)^{n(n-1)/2} \prod_{i\ne j}(X_i-X_j)$

ist symmetrisch in $X_1,\ldots,X_n$, also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun

$p(T)=T^n+a_1T^{n-1}+a_2T^{n-2}+\ldots+a_n$

ein Polynom mit Nullstellen $x_1,\ldots,x_n$ wie oben und setzt man diese in Δ ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten a_i, d. h., $\Delta(x_1,\ldots,x_n)$ ist ein nur von n abhängendes Polynom in den Koeffizienten $a_1,\ldots,a_n$. Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von p.