Feldlinien

Feldlinien oder Kraftlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien (i.a. gekrümmt), die die Richtung der von einem Feld auf einen Testkörper ausgeübten Kraft veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente gibt die Kraftrichtung im jeweiligen Berührungspunkt an.

Feld in der Umgebung eines Stabmagneten. Eisenfeilspäne auf Papier zeichnen die Richtung der Feldlinien nach. Leider verklumpen die Eisenteilchen

Vereinbarung: Die Feldlinien zeigen weg von der positiven Ladung (rot), hin zur negativen Ladung (grün). Die Länge der Pfeile ist ein Maß für die elektrische Feldstärke an ausgewählten Punkten. Man könnte auch an jedem anderen Punkt einen Pfeil einzeichnen, dann wird das Bild aber überladen.

Beispielsweise sind die Feldlinien eines Gravitationsfeldes jene Linien, die in Richtung der Schwerkraft verlaufen. Auf der Erde - im Erdschwerefeld - sind diese Kraftlinien praktisch Geraden, die Lotlinien oder Vertikalen, die man durch ein Schnurlot sichtbar machen kann. Auch bei den magnetischen Feldlinien eines kleinen Magneten ist die Visualisierung möglich - durch den oft gezeigten Versuch mit Eisenfeilspänen (siehe Bild).

Eigenschaften

• Die Feldliniendichte (Anzahl der Linien pro Flächeneinheit) ist proportional zur Feldstärke.
• Feldlinien schneiden einander niemals.
• Feldlinien von Quellenfeldern (etwa Felder von elektrischen Ladungen, oder Gravitationsfelder) gehen von einem Punkt aus und/oder enden in einem Punkt.
• Feldlinien von Wirbelfeldern (etwa Magnetfelder oder elektrische Felder, die durch sich ändernde Magnetfelder induziert werden) haben keinen Anfang und kein Ende, sondern sind geschlossene Linien.
• Der Verlauf der Linien kann durch folgende Regel anschaulich erklärt werden: Feldlinien wollen immer möglichst kurz sein, stoßen sich aber gegenseitig ab.

Richtung (Orientierung) von Feldlinien

• Beim Magnetfeld ist die Orientierung der Feldlinien durch die Richtung definiert, in die der Nordpol einer Kompassnadel zeigt. In der Umgebung eines Permanentmagneten verlaufen die Feldlinien daher vom Nord- zum Südpol. Die Pole von Permanentmagneten werden farblich gekennzeichnet, der Nordpol rot und der Südpol grün. Als Eselsbrücke hierfür kann man sich merken, dass man "rot" mit "o" wie "Nord" und „grün“ mit „ü“ wie „Süd“ schreibt.
• Beim elektrischen Feld zeigen die Feldlinien die Richtung der Kraft, die auf eine positive Probeladung wirkt. In einem elektrostatischen (von Ladungen ausgehenden) Feld verlaufen sie also von der positiven zur negativen Ladung.

Begründung der Felddarstellung mittels Linien

Unterschiedliche Darstellungsmöglichkeiten des Feldes um eine geladene Kugel

Am Beispiel einer geladenen Kugel, die eine Kraftwirkung auf andere geladene Teilchen in der Umgebung ausübt, können verschiedene Möglichkeiten einer anschaulichen graphischen Darstellung des Feldes diskutiert werden.

• Im linken Bild ist das schwächer werdende Feld durch geringere Farbsättigung dargestellt. Das hat den großen Vorteil, dass Fragen wie „Gibt es auch eine Kraft zwischen den Kraftlinien?“ erst gar nicht gestellt werden, weil die Fläche lückenlos bedeckt ist. Der Nachteil dieser Darstellung ist, dass es nicht einfach ist, dem Bild die Richtung der Kraft – das ist die Richtung der stärksten Änderung der Farbsättigung – zu entnehmen. Tiefergehende Fragen, etwa ob das Feld radialsymmetrisch (wie im mittleren Bild) oder z. B. mit Linksdrall wie im rechten Bild gestaltet ist, kann man mit der Farbsättigungsdarstellung überhaupt nicht beantworten.
• Diese Feinheiten lassen sich in den Feldlinienbildern problemlos darstellen, allerdings mit dem Nachteil, dass oft Fragen gestellt werden wie „Gibt es nur diese Feldlinien oder liegen noch mehr davon dazwischen?“ oder „Gibt es weiter außen mehr Stellen ohne Feldlinien?“ oder „Spürt ein geladenes Teilchen auf einer tangentialen Bahn abwechselnd viel und weniger Kraft, wenn es die Feldlinien überquert?“
• Die Frage, ob für eine geladene Kugel die mittlere oder z. B. die rechte Darstellung zutrifft, lässt sich nur experimentell oder durch Kenntnis besonderer "Regeln" (Feldlinien enden auf leitenden Flächen immer senkrecht) beantworten. Bei der linken Darstellung stellt sich diese Frage überhaupt nicht.
• Wie kann man zeichnerisch darstellen, ob ein Teilchen von der geladenen Kugel angezogen oder abgestoßen wird? Mit der Farbsättigungs-Darstellung ist dies nicht möglich. Die beiden anderen Darstellungen ermöglichen eine Unterscheidung durch Pfeilspitzen an den Linien.
• Die Liniendarstellung bietet gewisse Vorteile im Zusammenhang mit der graphischen Lösung von Differentialgleichungen (Richtungsfeld).
• Die Liniendarstellung ist einfacher zu zeichnen und drucktechnisch zu reproduzieren. Dies ist historisch sicherlich der wichtigste Grund, warum sie sich durchgesetzt hat.

Theoretischer Hintergrund

Der Begriff Feldlinie gehört zu Potentialfeldern der Physik und Geophysik. Die Feldlinie bezeichnet die Richtung des Gradienten eines Potentials.

Der Begriff ist nur in Feldern sinnvoll, in denen eine Richtung ausgezeichnet ist, also Feldern vektorwertiger Größen, so etwa Kraftfeldern, elektrischen und magnetischen Feldern, Strömungsfeldern. In Feldern skalarwertiger Größen, so auch den Potentialfeldern selbst, ist keine Richtung ausgezeichnet, so dass auch keine Feldlinien denkbar sind. Feldlinien gibt es dagegen im Feld des Gradienten eines skalaren Feldes, also der Richtung der stärksten Änderung.

Formal charakterisiert man z. B. im elektrischen Feld die Feldlinien im Punkt $\vec{r}$ durch die Gleichung

$d\vec{s} \times \vec{E}(\vec{r}) = 0$

Dieser Gleichung genügen wegen der Definition des Kreuzprodukts alle Vektoren, die parallel zu den Feldlinien in diesem Punkt sind. Im zweidimensionalen Fall (dz = E_z = 0) reduziert sich diese Gleichung auf

$dy E_x - dx E_y = 0 \Longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$

Siehe auch

• Potentialtheorie, Gravitationslinie
• Vektoranalysis
• Magnetismus
• Radialfeld