Figur (Mathematik)

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Eine geometrische Figur oder Form ist eine zusammenhängende Teilmenge der Ebene oder des Raums, die mit mathematischen Mitteln exakt definiert werden kann. Dabei sind die bestimmenden Eigenschaften unabhängig von der Lage und der Orientierung in der Ebene oder im Raum. Die Figur kann eindimensional als „Faden“, zweidimensional als „Fläche“ oder dreidimensional als „Körper“ auftreten.

Abgrenzung

Die Definition kann durch eine Kurve, den Graph einer Funktion oder die direkte Angabe einer Teilmenge erfolgen.

Diese abstrakte und theoretische Definition ist so allgemein, dass sie nahezu trivial ist. Enger gefasst bezeichnet geometrische Figur eine Figur, die sich durch spezielle mathematische Eigenschaften auszeichnet und die zu einer Gruppe von Figuren gehört, für die es einen eigenen Namen gibt. So eine Eigenschaft kann sein, dass sie sich besonders einfach beschreiben lässt, wie ein Kreis oder ein Würfel, es kann sein, dass sie in einem besonderen Verhältnis zu einer anderen geometrischen Figur steht, wie ein Sehnenviereck oder eine Inkugel, es kann auch sein, dass sie dazu dient, einen bestimmten mathematischen Sachverhalt zu illustrieren, wie die Mandelbrot-Menge oder das Sierpinski-Dreieck.

Geschichte

Dabei entspricht es sicherlich dem historischen Ablauf, dass zunächst Formen mit einem eigenen Namen ausgezeichnet wurden, die nur selten in der Natur vorkommen und die durch besondere Regelmäßigkeit auffallen, wie Polygone und Polyeder. Danach kamen wohl Spezialisierungen und Verallgemeinerungen dazu. Irgendwann während dieser Entwicklung wurden die Beschreibungen mathematisch formalisiert. Mit der abstrakten mathematischen Behandlung ergaben sich Bezeichnungen, die Beziehungen zwischen Figuren ausdrücken. Und mittlerweile ist es eher so, dass Figuren nicht "entdeckt" werden, sondern das Ergebnis einer abstrakten Definition sind. Damit werden dann auch Objekte als Figur angesehen, die sich der unmittelbaren Vorstellung entziehen, wie zum Beispiel der vierdimensionale Tesserakt oder die Kleinsche Flasche.

Der Ausdruck Form für eine geometrische Figur ist eher umgangssprachlich. Nichts zu tun hat er mit Form in der Algebra.

Geometrische Figuren der Ebene

Nulldimensional

• Punkt

Eindimensional

• Gerade weitere: Segment, Bogen ...
• Strahl (Halbgerade)
• Strecke

Zweidimensional

• Polygon
• Dreieck
• Viereck: - Quadrat - Trapez - Parallelogramm - Raute - Sehnenviereck - Drachenviereck - Tangentenviereck
• Fünfeck
• Sechseck
• Siebeneck
• Achteck
• Neuneck
• Zehneck

Kegelschnitt

• Ellipse
• Kreis
• Hyperbel
• Parabel

Sterne

• Pentagramm
• Hexagramm

Sonstige

• Superellipse
• Kugelzweieck
• Kugeldreieck
• Zykloide
• Rosette
• Logarithmische Spirale

Fraktales

• Koch-Kurve
• Drachenkurve
• Menger-Schwamm
• Sierpinski-Dreieck
• Mandelbrot-Menge
• Gosper-Kurve
• Penrose-Dreieck

Geometrische Figuren des Raumes

• Alle geometrischen Körper
• Helix
• Kugel
• Ellipsoid
• Rotationsellipsoid
• Paraboloid
• Rotationsparaboloid
• Hyperboloid
• Oloid
• Polyeder

Platonische Körper

• Tetraeder
• Würfel oder Hexaeder
• Oktaeder
• Ikosaeder
• Dodekaeder

Archimedische Körper

• Kuboktaeder

Prismen

• Pyramidenstumpf
• Torus
• Zylinder
• Kegel
• Kegelstumpf
• Geodätische Kuppel

Hyperebene

• Möbiusband
• Kleinsche Flasche

Galerie

Tetraeder	Würfel	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder	Quadratisches Prisma
Hexagonales Prisma	Achtseitiges Prisma	Zwölfseitiges Prisma	Quadratische Pyramide	Hexagonale Pyramide	Achtseitige Pyramide
Zwölfseitige Pyramide	Quadratische Kombination Prisma mit Pyramide	Hexagonale Kombination Prisma und Pyramide	Tesserale Kombination Oktaeder und Würfel im Gleichgewicht	Rhombendodekaeder	Trapezoeder
Achtundvierzigflächner	Pyramidenwürfel	Durchkreuzungszwillinge aus zwei Pentagondodekaedern	Durchkreuzungszwillinge aus zwei Tetraedern	Kombination Prisma 2. Ordnung mit Rhomboedern	Hexagonale Kombination Prisma mit Rhomboeder
Hexagonale Kombination Prisma Pyramide Basis	Hexagonale Kombination der Turmalingruppe - Basis unten - oben rhomboedrisch - Hemimorph	Kombination orthodiagonales Pinakoid - Hemitropie - Gips	Brachydiagonales Doma	Makrodiagonales Doma	Orthodoma
Monokline Kombination Säule Klinopinakoid Hemipyramide	Monokline Pyramide	Pyramidenoktaeder	Quadratische Kombination Prisma 2. Ordnung mit Pyramide	Rhombische Kombination Prisma Brachyprisma Pyramide	Rhombische Pyramide
Rhombischer Kieselzinkkristall Basis oben entwickelt - Parallelfläche unten fehlt - Hemimorph	Rhombisches Prisma	Tesserale Kombination Würfel mit Oktaeder	Tesserale Kombination Oktaeder mit Pentagondodekaeder	Tesserale Kombination Oktaeder mit Würfel	Trikline Pyramide
Zwei Oktaeder - miteinander verwachsen - Magneteisen Spinell	Die bemerkenswerten Schnitte am Rhomboeder

Siehe auch

• Goldener Schnitt