Gegenbauer-Polynome

Die Gegenbauer-Polynome, auch 'ultrasphärische Polynome' sind eine Menge orthogonaler Polynome im Intervall -1..1 mit der Gewichtungsfunktion (1-x²)^α-1/2, mit α > -1/2. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

$C_n^{(\alpha)} (z) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\sum^{n/2}_{m=0}(-1)^m\frac{\Gamma(\alpha+n-m)}{m!(n-2m)}(2z)^{n-2m},$

für α≠0, andernfalls

$C_n^{(0)} (z) = \sum^{n/2}_{m=0}(-1)^m\frac{(n-m-1)!}{m!(n-2m)}(2z)^{n-2m},$

Sie lassen sich auch durch eine Hypergeometrische Funktion ₂F₁ darstellen:

$C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha+n-1)!}{(2\alpha-1)!\,n!}\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right)$

Der Wert für z=1 ist

$C_n^{(\alpha)} (1) = {n+2\alpha-1\choose n} .$

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

$C_0^{(\alpha)}(z) = 1$

$C_1^{(\alpha)}(z) = 2\alpha z$

$C_2^{(\alpha)}(z) = -\alpha+2\alpha(1+\alpha)z^2$

$C_3^{(\alpha)}(z) = -2\alpha(1+\alpha)z+4/3\alpha(1+\alpha)(2+\alpha)z^3$

Referenzen

• Eric W. Weisstein et al., „Gegenbauer Polynomial“, at MathWorld.
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4, S. 774.