Jacobi-Polynome

Die Jacobi-Polynome, auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge orthogonaler Polynome im Intervall -1..1 mit der Gewichtungsfunktion (1 − z)^α(1 + z)^β, mit α, β > -1. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi und bilden die Lösung der Jacobi-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m,$

oder mit der hypergeometrische Funktion ₂F₁ die Gestalt

$P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right).$

Der Wert für z=1 ist

$P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}$.

Sie haben die Symmetriebeziehung

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z)\,$

woraus sich der Wert für z=-1 ergibt:

$P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .$

Ableitungen

Die k-te Ableitung ist

$\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .$

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für α = β = 0: Legendre-Polynome
• Gegenbauer-Polynome
• Tschebyschow-Polynome erster Ordnung
• der Radialterm der Zernike-Polynom

Referenzen

• Eric W. Weisstein et al., „Jacobi Polynomial“, at MathWorld.