Geometrische Progression

Geometrische Progression

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass das Verhältnis zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Das i-te Glied ai einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a0 und dem Quotient q berechnet sich aus


a_i = a_0 \cdot q^i (explizite Formel)

beziehungsweise aus


a_0=a_0,\ a_1=a_0\;q,\ a_2=a_0\;q^2,\ a_3=a_0\;q^3,\ \dots

Sind a0 und q positive reelle Zahlen, so ist jedes Glied ai mit i > 0 das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder ai − 1 und ai + 1. Diese Tatsache ist der Grund für die Bezeichnung „geometrische Folge“. Die Summation der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe. Die Glieder einer Geometrischen Folge lassen sich auch aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen, dazu dient die folgende Formel:

 a_{i+1} =a_i \cdot q (rekursive Formel)

Neben der in diesem Artikel gewählten Darstellung ist es auch üblich, das erste Folgenglied mit a1 zu bezeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Zahlenbeispiele

Beispiel 1

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a0 = 5 und dem Quotienten q = 3 sind


a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich


5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dots

Beispiel 2

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied a0 = 1 und dem Quotienten q=-\frac{1}{2} sind


a_0=1,\ a_1=-\frac{1}{2},\ a_2=\frac{1}{4},\ a_3=-\frac{1}{8},\ \dots

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich


+1,\ -\frac{1}{2},\ +\frac{1}{4},\ -\frac{1}{8},\ +\frac{1}{16} ,\ -\frac{1}{32},\ +\frac{1}{64},\ -\frac{1}{128},\ +\frac{1}{256},\  \dots

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstumsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt n + 1 aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt. Zum Beispiel

Zinseszins

Bei einem Zinssatz von 5 Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Es handelt sich also um eine geometrische Folge mit dem Verhältnis q = 1,05. Die Zahl q heißt hier Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

  • nach einem Jahr ein Kapital von
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05 = 1050 \;\mathrm{Euro}
  • nach zwei Jahren ein Kapital von
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^2= 1102{,}50 \;\mathrm{Euro}
  • nach drei Jahren ein Kapital
1000\;\mathrm{Euro} \cdot 1{,}05^3= 1157{,}63 \;\mathrm{Euro}

und so weiter.

Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

 f(i) = a_0 \cdot \left(\sqrt[12]{2}\,\right) ^i ,

wobei a0 beispielsweise die Frequenz des Kammertons, und i die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. f(i) ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand i zum "Ursprungston" a0.

Der Wachstumsfaktor ist also q = \sqrt[12]{2}.

Siehe auch

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