Arithmetische Progression

Eine arithmetische Folge oder arithmetische Progression ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Also

a_{i + 1} = a_i + d (rekursive Formel)

Das i-te Glied a_i einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied a₀ und der Differenz d berechnet sich aus

$a_i = a_0 + i\;d$ (explizite Formel)

beziehungsweise aus

$a_0=a_0,\ a_1=a_0+d,\ a_2=a_0+2d,\ a_3=a_0+3d,\ \dots$

Arithmetische Folge und arithmetisches Mittel

Die arithmetische Folge leitet sich aus dem arithmetischen Mittel ab, da jedes Glied einer arithmetischen Folge $a_i\$mit $i>0\$ das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist:

$a_i = \frac{a_{i+1} + a_{i-1}}{2}$

Die Summation der Folgenglieder ergibt die arithmetische Reihe.

Beispiele für arithmetische Folgen

Folge der ungeraden, natürlichen Zahlen

$1\ 3\ 5\ 7\ 9\ 11\ ...\ 2n+1\$

Arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a₀ = 25 und der Differenz d = − 3

$\begin{align} a_0&=25-0\cdot3=25,\\ a_1&=25-1\cdot3=22,\\ a_2&=25-2\cdot3=19,\\ a_3&=25-3\cdot3=16,\\ \vdots \end{align}$

wenn man die Glieder einfach hintereinander schreibt ergibt sich

$25,\ 22,\ 19,\ 16,\ 13 ,\ 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ -2,\ \dots$

Differenzenfolge

Die Folge aus den Differenzen zweier aufeinanderfolgender Glieder nennt man Differenzenfolge. Bei einer Arithmetischen Folge muss die Differenzenfolge konstant sein:

$d = a_{i+1} - a_i\$

Beispiel

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender, ungerader, natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge eine Zweierfolge:

$1\$

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$13\$

$...\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Arithmetische Folgen höherer Ordnung

Folgen, die sich auf eine arithmetische Folge zurückführen lassen, nennt man arithmetische Folgen höherer Ordnung. Es handelt sich dabei genau um diejenigen Folgen, die sich durch eine Polynomfunktion beschreiben lassen; die Ordnung ist dabei der Grad des Polynoms.

Beispiele

A. Die Folge der Tetraederzahlen

Folge:

$1\$

$4\$

$10\$

$20\$

$35\$

$56\$

$84\$

$...\$

1. Differenzenfolge:

$3\$

$6\$

$10\$

$15\$

$21\$

$28\$

$...\$

2. Differenzenfolge:

$3\$

$4\$

$5\$

$6\$

$7\$

$...\$

3. Differenzenfolge:

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$...\$

Die Folge der Tetraederzahlen ist eine arithmetische Folge 3. Ordnung. Die Polynomfunktion, welche die Folge beschreibt, lautet:

$a_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{1}{6}\cdot(n^3+3n^2+2n)$.

Der größte Exponent bestimmt den Grad der Polynomfunktion, und das ist in diesem Fall die drei.

Wie man der Tabelle entnehmen kann ist die Folge der Dreieckszahlen (1. Differenzenfolge) eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

B. Die Folge der (positiven) Quadratzahlen

Folge:

$1\$

$4\$

$9\$

$16\$

$25\$

$36\$

$49\$

$...\$

1. Differenzenfolge:

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$13\$

$...\$

2. Differenzenfolge:

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Bei der Folge der Quadratzahlen handelt es sich um eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Berechnung

Zur Berechnung arithmetischer Folgen allgemeiner Ordnung sind die Formeln

• $\sum_{i=1}^n i = \frac {n(n+1)}{2}$
• $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
• $\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}$

zu verwenden. Letztere heißt Faulhabersche Formel, in der B_k die k-te Bernoulli-Zahl ist.

Siehe auch

• Geometrische Folge

Weblinks

• Erklärungen für Schüler