Goodman und Kruskals τ

Proportionale Fehlerreduktionsmaße geben indirekt die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei Variablen X und Y an. Definiert werden sie als

$PRE = \frac{E_1-E_2}{E_1} = 1-\frac{E_2}{E_1}$,

wobei E₁ der Fehler bei der Vorhersage der abhängigen Variablen Y ohne Kenntnis des Zusammenhangs und E₂ der Fehler bei der Vorhersage der abhängigen Variablen Y mit Kenntnis des Zusammenhangs mit X ist.

Da $0\leq E_2 \leq E_1$ gilt, folgt $0 \leq PRE \leq 1$. Ein Wert von Eins bedeutet, dass unter Kenntnis der unabhängigen Variable, der Wert der abhängigen Variable perfekt vorhergesagt werden kann. Ein Wert von Null bedeutet, dass die Kenntnis der unabhängigen Variablen keine Verbesserung in der Vorhersage der abhängigen Variable ergibt.

Der Vorteil ist, dass damit alle proportionalen Fehlerreduktionsmaße in gleicher Weise unabhängig vom Skalenniveau interpretiert werden können. Als Vergleichsmaßstab kann daher das Bestimmtheitsmaß dienen, da es ein proportionales Fehlerreduktionsmaß ist, oder folgende Daumenregel^[1]:

• PRE < 0,1: Keine Beziehung,
• $0,1\leq PRE&amp;amp;lt;0,3$: Schwache Beziehung,
• $0,3\leq PRE&amp;amp;lt;0,5$: Mittlere Beziehung und
• $0,5\geq PRE$: Starke Beziehung.

Der Nachteil ist, dass

• die Richtung des Zusammenhangs nicht berücksichtigt werden kann, da Richtungen nur bei ordinalen oder metrischen Skalenniveau angeben werden können und
• die Größe der Fehlerreduktion davon abhängt, wie die Vorhersage unter Kenntnis des Zusammenhangs gemacht wird. Ein kleiner Wert des proportionalen Fehlerreduktionmaßes bedeutet nicht, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt.

Da eine Variable abhängig und die andere unabhängig ist, unterscheidet man zwischen symmetrischen und asymmetrischen proportionalen Fehlerreduktionsmaßen:

Skalenniveau der		Maß
unabhängigen Variable X	abhängigen Variable Y	Name	Bemerkung
nominal	nominal	Goodman und Kruskals λ[2]	Es gibt ein symmetrisches und ein asymmetrisches Maß.
nominal	nominal	Goodman und Kruskals τ[2]	Es gibt ein symmetrisches und ein asymmetrisches Maß.
nominal	nominal	Unsicherheitskoeffizient oder Theils U[3]	Es gibt ein symmetrisches und ein asymmetrisches Maß.
ordinal	ordinal	Goodman und Kruskals γ[2]	Es gibt nur ein symmetrisches Maß.
nominal	metrisch	η2	Es gibt nur ein asymmetrisches Maß.
metrisch	metrisch	Bestimmtheitsmaß R2	Es gibt nur ein symmetrisches Maß.

Bestimmtheitsmaß

Für die Vorhersage unter Unkenntnis des Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Variablen X und Y dürfen nur Werte der abhängigen Variablen Y benutzt werden. Der einfachste Ansatz ist $\hat{y}_i^{(1)} = c$ und mit $c = \min_{\tilde{c}}\sum_{i=1}^n (y_i - \tilde{c})^2$ gilt und es folgt $c=\bar{y}$ dem arithmetische Mittel. Daher ist der Vorhersagefehler unter Unkenntnis des Zusammenhangs

$E_1 = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i^{(1)})^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$.

Für die Vorhersage unter Kenntnis des Zusammenhangs nutzen wir die lineare Regression $\hat{y}_i^{(2)} = b_0 + b_1 x_i$ aus:

$E_2 = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i^{(2)})^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2$.

Das Bestimmtheitsmaß R² ist dann ein proportionales Fehlerreduktionsmaß, da gilt

$R^2 = 1-\frac{E_2}{E_1} = 1-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i^{(2)})^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}.$

Werden die Rollen der abhängigen und unabhängigen Variable vertauscht, so ergibt sich der gleiche Wert für R². Daher gibt es nur ein symmetrisches Maß.

Goodman und Kruskals λ und τ

Berechnung von Goodman und Kruskals λ und τ für die Variablen "Subjektive Schichteinstufung des Befragten" und "Wahlabsicht in der Bundestagswahl" der ALLBUS Daten 2006.

Goodman und Kruskals λ

Die Vorhersage unter Unkenntnis des Zusammenhangs ist die Modalkategorie der abhängigen Variable und der Vorhersagefehler

$E_1 = 1- \frac{h_M}{n}$

mit h_M die absolute Häufigkeit in der Modalkategorie und n die Anzahl der Beobachtungen.

Die Vorhersage unter Kenntnis des Zusammenhangs ist die Modalkategorie der abhängigen Variable in Abhängigkeit von den Kategorien der unabhängigen Variablen und der Vorhersagefehler ist

$E_2 = \sum_j \frac{h_{\bullet,j}}{n} \left(1-\frac{h_{M,j}}{h_{\bullet,j}}\right)$

mit $h_{\bullet,j}$ die absolute Häufigkeit für die jeweilige Kategorie der unabhängigen Variablen und h_M,j die absolute Häufigkeit der Modalkategorie in Abhängigkeit von den Kategorien der unabhängigen Variablen.

Beispiel

Im Beispiel rechts ergibt sich für die abhängige Variable "Wahlabsicht Bundestagswahl" bei Unkenntnis des Zusammenhangs als der Vorhersagewert "CDU/CSU" und damit eine Fehlervorhersage E₁ = 1 − 770 / 2660 = 0,711.

Je nach Ausprägung der Variablen "Subjektive Schichteinstufung" ergibt sich für die abhängige Variable "Wahlabsicht Bundestagswahl" der Vorhersagewert "CDU/CSU" (Kategorie: Mittelschicht, Obere Mittelschicht/Oberschicht), "SPD" (Kategorie: Arbeiterschicht) oder "Andere Partei/Nichtwähler" (alle anderen Kategorien). Der Vorhersagefehler E₂ = 91 / 2660 * (1 − 27 / 91) + 953 / 2660 * (1 − 264 / 953) + ... + 21 / 2660 * (1 − 6 / 21) = 0,689 und λ = 1 − 0,689 / 0,711 = 0,031.

Das heißt, im vorliegende Beispiel kann der Fehler bei der Vorhersage der Wahlabsicht der Bundestagswahl des Befragten um 3,1% reduziert werden, wenn man seine eigene subjektive Schichteinstufung kennt.

Goodman und Kruskals τ

Bei Goodman und Kruskals τ wird als Vorhersagewert statt der Modalkategorie ein zufälliger gezogener Wert aus der Verteilung von Y angenommen, d.h. mit Wahrscheinlichkeit $h_{1,\bullet}/n$ wird Kategorie 1 gezogen, mit Wahrscheinlichkeit $h_{2,\bullet}/n$ wird Kategorie 2 gezogen und so weiter. Der Vorhersagefehler ergibt sich dann als

$E_1 = \sum_k \frac{h_{k,\bullet}}{n} \left(1-\frac{h_{k,\bullet}}{n}\right)$

mit $h_{k,\bullet}$ die absolute Häufigkeit der Kategorie k der abhängigen Variablen. Analog ergibt sich der Vorhersagefehler E₂, nur das jetzt die Vorhersage entsprechend für jede Kategorie der unabhängigen Variablen gemacht wird und der Vorhersagefehler E₂ ergibt sich als Summe der gewichteten Vorhersagefehler in jeder Kategorie der unabhängigen Variablen.

$E_2 = \sum_j \frac{h_{\bullet,j}}{n} \left(\sum_k \frac{h_{k,j}}{h_{\bullet,j}} \left(1-\frac{h_{k,j}}{h_{\bullet,j}}\right)\right)$

mit h_k,j die absolute Häufigkeit für das gemeinsame Auftreten der Kategorien i und j.

Symmetrische Maße

Für Goodman und Kruskals λ und τ können die Vorhersagefehler

• $E_1^Y$ und $E_2^Y$, wenn Y die abhängige Variable ist, und
• $E_1^X$ und $E_2^X$, wenn X die abhängige Variable ist,

berechnet werden. Die symmetrischen Maße für Goodman und Kruskals λ und τ ergeben sich dann als $\frac{(E_1^X-E_2^X)+(E_1^Y-E_2^Y)}{E_1^X+E_1^Y}$.

Unsicherheitskoeffizient

Entropie

Der Unsicherheitskoeffizient misst die Unsicherheit der Information mit Hilfe der Entropie. Wenn f_k die relative Häufigkeit des Auftretens der Kategorie k ist, dann ist die Entropie oder Unsicherheit definiert als

$U = -\sum_k f_k\,\log(f_k).$

Die Unsicherheit U ist Null, wenn für alle möglichen Kategorien bis auf eine f_k = 0 ist. Die Vorhersage, welchen Kategorienwert eine Variable annimmt, ist dann trivial. Ist f_k = 1 / k (Gleichverteilung), dann ist die Unsicherheit U = log(k) und auch maximal.

Asymmetrischer Unsicherheitskoeffizient

Das Fehlermaß unter Unkenntnis des Zusammenhangs ist daher die Unsicherheit U_Y für die abhängige Variable

$E_1 = -\sum_k \frac{h_{k,\bullet}}{n} \log\left(\frac{h_{k,\bullet}}{n}\right) = U_Y.$

Das Fehlermaß unter Kenntnis des Zusammenhangs ist die gewichtete Summe der Unsicherheit für jede Kategorie der abhängigen Variablen

$E_2 = \sum_j \frac{h_{\bullet,j}}{n} \underbrace{\left[-\sum_k \frac{h_{k,j}}{h_{\bullet,j}} \log\left(\frac{h_{k,j}}{h_{\bullet,j}}\right)\right]}_{\begin{matrix}\mbox{Unsicherheit in Kategorie j} \\ \mbox{der unabhängigen Variable}\end{matrix}}.$

Dieser Ausdruck lässt auch schreiben als

$E_2 = U_{XY}-U_X = \left[-\sum_{j,k} \frac{h_{k,j}}{n} \log\left(\frac{h_{k,j}}{n}\right)\right]-\left[-\sum_j\frac{h_{\bullet,j}}{n} \log\left(\frac{h_{\bullet,j}}{n}\right)\right]$

mit U_XY die Unsicherheit basierend auf der gemeinsamen Verteilung von X und Y und U_X die Unsicherheit der unabhängigen Variable X.

Der Unsicherheitskoeffizient ergibt sich dann als

$U_{asym.}=\frac{E_1-E_2}{E_1} = \frac{U_X+U_Y-U_{XY}}{U_Y}.$

Symmetrischer Unsicherheitskoeffizient

Für den Unsicherheitskoeffizient können die Vorhersagefehler

• $E_1^Y$ und $E_2^Y$, wenn Y die abhängige Variable ist, und
• $E_1^X$ und $E_2^X$, wenn X die abhängige Variable ist,

berechnet werden. Der symmetrische Unsicherheitskoeffizient ergibt sich, wie bei Goodman and Kruskals λ und τ, als

$U_{sym.} = \frac{(E_1^X-E_2^X)+(E_1^Y-E_2^Y)}{E_1^X+E_1^Y} = \frac{2 (U_X+U_Y-U_{XY})}{U_X+U_Y}$.

Goodman und Kruskals γ

C sei die Zahl konkordanten Paare (x_i < x_j und y_i < y_j) und D die Zahl diskordanten Paare (x_i < x_j und y_i > y_j). Wenn wir keine gemeinsamen Rangzahlen (Ties) haben und n die Anzahl der Beobachtungen ist, dann gilt C + D = n(n − 1) / 2.

Unter Unkenntnis des Zusammenhangs können wir keine Aussage darüber machen, ob ein Paar konkordant oder diskordant ist. Daher sagen wir Wahrscheinlichkeit 0,5 ein konkordantes bzw. diskordantes Paar vorher. Der Gesamtfehler für alle möglichen Paare ergibt sich als

$E_1 = \frac{C+D}{2}.$

Unter Kenntnis des Zusammenhangs wird immer Konkordanz vorhergesagt, falls $C\geq D$, oder immer Diskordanz, wenn C < D. Der Fehler ist

$E_2 = \min(C,D) = \left\{\begin{matrix} D,&amp;amp;amp; \mbox{ falls } C\geq D\\ C, &amp;amp;amp; \mbox{ falls } C&amp;amp;lt;D\end{matrix} \right.$

und es folgt

$\frac{E_1-E_2}{E_1}=\frac{\frac{C+D}{2}-\min(C,D)}{\frac{C+D}{2}}=\frac{|C-D|}{C+D}=|\gamma|.$

Der Betrag von Goodman and Kruskals γ ist damit ein symmetrisches proportionales Fehlerreduktionsmaß.

η²

Berechnung von η für die Variablen "Nettoeinkommen des Befragten" (abhängig) und "Subjektive Schichteinstufung des Befragten" (unabhängig) der ALLBUS Daten 2006.

Wie bei dem Bestimmtheitsmaß ist der Vorhersagewert für die abhängige metrische Variable unter Unkenntnis des Zusammenhangs $\bar{y}$ und der Vorhersagefehler

$E_1 = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$.

Bei Kenntnis zu welcher der Gruppen der nominale oder ordinale unabhängigen Variable die Beobachtung gehört, ist der Vorhersagewert gerade der Gruppenmittelwert $\bar{y}_k$. Der Vorhersagefehler ergibt sich als

$E_2 = \sum_k \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}_k)^2 \delta_{ik}$ mit $\delta_{ik} = \left\{\begin{matrix} 1,&amp;amp;amp; \mbox{ falls } i=k\\ 0 &amp;amp;amp; \mbox{ sonst } \end{matrix} \right.$

, wenn die Beobachtung i zur Gruppe k gehört und sonst Null. Damit ergibt sich

$\eta^2 = 1-\frac{E_2}{E_1} = 1- \frac{\sum_k \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y}_k)^2 \delta_{ik}}{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}$.

Die Rollen der abhängigen und unabhängigen Variablen kann nicht vertauscht werden, da sie unterschiedliches Skalenniveau haben. Deswegen gibt es nur ein (asymmetrisches) Maß.

In Cohen (1998)^[1] wird als Daumenregel angegeben:

• η² < 0,01 kein Zusammenhang,
• $0,01\leq\eta^2&amp;amp;lt;0,04$ geringer Zusammenhang,
• $0,04\leq\eta^2&amp;amp;lt;0,16$ mittlerer Zusammenhang und
• $0,16\leq\eta^2$ starker Zusammenhang.

Beispiel

In dem Beispiel kann der Fehler bei der Vorhersage des Nettoeinkommens bei Kenntnis der Schichteinstufung um 0,306² = 0,094, also knapp 10%, reduziert werden. Das zweite η ergibt sich, wenn man die Rolle der Variablen vertauscht, was aber hier unsinnig ist. Daher muss dieser Wert ignoriert werden.

Literatur

• Y.M.M. Bishop, S.E. Feinberg, P.W. Holland (1975). Discrete Multivariate Analysis: Theory and Practice. Cambridge, MA: MIT Press.
• L.C. Freemann (1986). Order-based Statistics and Monotonicity: A Family of Ordinal Measures of Association. Journal of Mathematical Sociology, 12(1), S. 49-68
• J. Bortz (2005). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (6. Auflage), Springer Verlag.
• B. Rönz (2001). Skript "Computergestützte Statistik II", Humboldt-Universität zu Berlin, Lehrstuhl für Statistik.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} J. Cohen (1988). Statistical Power Analysis for Behavioral Science. Erlbaum, Hilsdale
2. ↑ ^{a b c} L.A. Goodman, W.H. Kruskal (1954). Measures of association for cross-classification. Journal of the American Statistical Association, 49, S. 732-764.
3. ↑ H. Theil (1972), Statistical Decomposition Analysis, Amsterdam: North-Holland Publishing Company (diskutiert den Unsicherheitskoeffizient).