Algebraische Kurve

Eine algebraische Kurve ist eine eindimensionale algebraische Varietät, kann also durch eine Polynomgleichung beschrieben werden. Ein wichtiger Spezialfall sind die ebenen algebraischen Kurven, also algebraische Kurven, die in der affinen oder projektiven Ebene verlaufen. Geschichtlich beginnt die Beschäftigung mit algebraischen Kurven schon früh mit der Untersuchung von Geraden und Kegelschnitten und erreichte ihren Höhepunkt im 19. Jahrhundert durch August Ferdinand Möbius und Julius Plücker, später durch Bernhard Riemann.

Definition und wichtige Eigenschaften

Eine ebene algebraische Kurve über einem Körper k kann wie folgt definiert werden:

Sei f ein Polynom in zwei Variablen x und y mit Koeffizienten aus k, das nicht das Nullpolynom ist. Dann ist die Nullstellenmenge von f, also die Menge $\{(x,y)\in k^2|f(x,y)=0\}$ eine ebene algebraische Kurve. Der Grad des Polynoms f wird als Grad der Kurve bezeichnet.

Offensichtlich spielt es keine Rolle, ob man f mit einer von Null verschiedenen Zahl aus k multipliziert, die dadurch definierten Kurven stimmen überein.

Der Grundkörper k kann beliebig gewählt werden, man interessiert sich aber vor allem für algebraisch abgeschlossene Körper, wie die komplexen Zahlen.

Irreduzibilität

Ist das definierende Polynom reduzibel, falls es also in zwei nichttriviale Faktoren zerlegt werden kann, so kann auch die Kurve in zwei unabhängige Komponenten zerlegt werden. Zum Beispiel ist das Polynom f(x,y) = xy nicht irreduzibel, da es in die Faktoren x und y zerlegt werden kann. Die durch f definierte Kurve besteht daher aus zwei Geraden.

Bei einem irreduziblen Polynom tritt kann die Kurve nicht zerlegt werden, sie wird dann ebenfalls irreduzibel genannt.

Singularitäten

Neilsche Parabel mit Spitze im Nullpunkt

Kartesisches Blatt mit einfachem Doppelpunkt im Nullpunkt

Im Normalfall lässt sich in jedem Punkt der algebraischen Kurve genau eine Tangente an die Kurve zeichnen. In diesem Fall nennt man den Punkt glatt oder nichtsingulär. Es kann aber auch der Fall auftreten, dass die Kurve in einem oder mehreren Punkten einen Selbstschnitt oder eine Spitze besitzt. Im ersten Fall besitzt die Kurve in diesem Punkt zwei oder mehr Tangenten, im zweiten fallen diese Tangenten zu einer mehrfachen Tangente zusammen.

Beispiele für solche singulären Punkte finden sich bei der Neilschen Parabel mit der Gleichung y³ = x², diese hat eine Spitze im Nullpunkt. Einen Doppelpunkt, also einen Punkt der zwei Mal in verschiedenen Richtungen durchlaufen wird findet man beim kartesischem Blatt, das durch x³ + y³ − 3xy = 0 gegeben ist.

Projektive Kurven

Häufig ist es von Vorteil, algebraische Kurven nicht im Affinen, sondern in der projektiven Ebene zu betrachten. Diese kann durch sogenannte homogene Koordinaten [x:y:z] beschrieben werden, wobei x, y und z nicht gleichzeitig 0 werden dürfen und zwei Punkte als gleich aufgefasst werden, wenn sie durch Multiplikation einer von 0 verschiedenen Zahl auseinander hervorgehen. Für $\lambda\neq0$ gilt also $[x:y:z]=[\lambda\cdot x:\lambda\cdot y:\lambda\cdot z]$. Um im Projektiven algebraische Kurven zu definieren, benötigt man also Polynome in drei Variablen x, y und z. Würde man hier beliebige Polynome verwenden, so ergäben sich große Probleme auf Grund der Tatsache, dass die Darstellung der Punkte nicht eindeutig ist: So sind die Punkte [1:1:1] und [2:2:2] gleich, aber das Polynom f(x,y,z) = x² − y verschwindet bei der ersten Darstellung, nicht aber bei der zweiten.

Dieses Problem tritt nicht auf, wenn man sich auf homogene Polynome beschränkt: Zwar können sich auch hier die Werte, die das Polynom bei verschiedenen Darstellungen annimmt, unterscheiden, aber die Eigenschaft, ob das Polynom eine Nullstelle hat ist von der Wahl der Darstellung des Punktes unabhängig.

Um zu einer affinen Kurve die zugehörige projektive Kurve zu finden, homogenisiert man das definierende Polynom: In jedem Term fügt man eine so große z-Potenz ein, dass sich ein homogenes Polynom ergibt: Aus der Gleichung x² − y + 1 = 0 wird also x² − yz + z² = 0.

Der umgekehrte Vorgang wird als Dehomogenisieren bezeichnet. Hier setzt man in das homogene Polynom für z (oder eine Variable, falls man nach einer anderen Variablen dehomogenisieren möchte) den Wert 1 ein.

Schnitte zweier Kurven

Betrachtet man beispielsweise eine Gerade und eine Parabel, so erwartet man im Allgemeinen zwei gemeinsame Punkte. Durch verschiedene Umstände können auch weniger gemeinsame Punkte auftreten, diese Fälle kann man jedoch alle durch spezielle Voraussetzungen oder Definitionen umgehen:

• Die Gerade und die Parabel können gar keinen Schnittpunkt besitzen, dies umgeht man, indem man voraussetzt, dass der zu Grunde liegende Körper algebraisch abgeschlossen ist.
• Die Gerade kann durch den Scheitel der Parabel senkrecht nach oben verlaufen und somit nur einen Punkt mit ihr gemeinsam haben. Dies tritt nicht auf, wenn man sich in der projektiven Ebene befindet, hier haben Gerade und Parabel in diesem Fall einen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.
• Die Gerade kann eine Tangente an die Parabel sein. Auch in diesem Fall existiert nur ein gemeinsamer Punkt. Mit einer geeigneten Definition von Schnittmultiplizität kann dieser Schnittpunkt jedoch doppelt gezählt werden.

Unter den obigen Voraussetzungen gilt der Satz von Bézout: Die Anzahl der gemeinsamen Punkte zweier projektiver ebener algebraischer Kurven von Grad n und m ohne gemeinsame Komponenten beträgt nm.

Beispiele für algebraische Kurven

• Die ebenen algebraischen Kurven von Grad 1 sind genau die Geraden. Die Gleichungen x = 0 und y = 0 beispielsweise beschreiben die Koordinatenachsen, die Gleichung x = y oder äquivalent x − y = 0 die erste Winkelhalbierende.
• Die ebenen algebraischen Kurven von Grad 2 sind genau die Kegelschnitte, darunter der durch x² + y² = 1 beschriebene Einheitskreis und die Normalparabel mit der Formel y = x². Die reduziblen Kurven sind dabei die entarteten Kegelschnitte.
• Bei Grad 3 treten zum ersten Mal irreduzible Kurven mit Singularitäten auf, zum Beispiel die Neilsche Parabel mit der Gleichung y³ = x² und das kartesische Blatt, das durch x³ + y³ − 3xy = 0 gegeben ist. Die elliptischen Kurven sind ebenfalls wichtige Beispiele ebener algebraischer Kurven von Grad 3.

Duale Kurve

Eine Kurve kann statt durch ihre Punkte auch durch ihre Tangenten beschrieben werden. Ein in diesem Zusammenhang wichtiges Problem ist die Frage, wie viele Tangenten sich „in der Regel“ von einem nicht auf der Kurve liegenden Punkt aus an eine Kurve n-ter Ordnung legen lassen. Diese Anzahl heißt die Klasse der Kurve. Für eine solche Kurve ohne singuläre Punkte (wie etwa Doppelpunkte oder Spitzen) ist diese Klasse gleich n(n − 1). Jeder Doppelpunkt verkleinert die Klasse um 2 und jede Spitze um 3. Das ist eine Hauptaussage der Plückerschen Formeln, die sich außerdem noch mit der Anzahl der Wendepunkte und Doppeltangenten befassen. Hierfür muss der Grundkörper algebraisch abgeschlossen sein.

So ist zum Beispiel eine singularitätenfreie Kurve dritter Ordnung ist von 6. Klasse, besitzt sie einen Doppelpunkt, ist sie von vierter, und wenn sie eine Spitze hat, von dritter Klasse.

Im homogenen Fall haben Geraden, also auch Tangenten, eine Gleichung der Form ax + by + cz = 0, wobei a, b und c nicht alle verschwinden dürfen und mit einer beliebigen von 0 verschiedenen Zahl multipliziert werden dürfen. Damit entspricht dieser Geraden der Punkt [x:y:z]. Aus der Menge der Tangenten an eine gegebene Kurve erhält man also eine Punktemenge in der projektiven Ebene. Es stellt sich heraus, dass diese Menge selbst wieder eine algebraische Kurve ist, die sogenannte duale Kurve.

Dual zueinander sind folgende Begriffe:

• Kurvenpunkt und Kurventangente
• Doppelpunkt und Doppeltangente
• Wendepunkt und Spitze
• Ordnung und Klasse

Die duale Kurve der dualen Kurve ist wieder die ursprüngliche Kurve.

Definition algebraischer Kurven über Schemata

Die moderne Definition lautet: Eine (algebraische) Kurve ist ein eindimensionales separiertes algebraisches Schema über einem Körper. Häufig werden auch noch weitere Voraussetzungen wie geometrische Reduziertheit oder Irreduzibilität in die Definition mit aufgenommen.

Literatur

• B. L. van der Waerden: Einführung in die algebraische Geometrie. J. Springer 1939
• K. Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000

Weblinks