- Hahnscher Zerlegungssatz
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In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß, also ein Maß, das positive und negative Werte annehmen kann, in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann.
Sei
ein Messraum und 
ein signiertes Maß darauf.Eine messbare Menge
heißt positiv bezüglich des signierten Maßes , wenn jede messbare Teilmenge 
, 
nichtnegatives Maß hat, also
;
analog heißt eine messbare Menge
negativ bezüglich des signierten Maßes , wenn jede messbare Teilmenge , nichtpositives Maß hat, also
.
Der Zerlegungssatz von Hahn, nach dem österreichischen Mathematiker Hans Hahn, besagt nun, dass für jedes signierte Maß eine Zerlegung von 
in zwei disjunkte messbare Mengen 
, 
existiert, wobei 
positiv bezüglich des Maßes und 
negativ bezüglich des Maßes ist. Die Zerlegung der Menge 
in einen negativen und einen positiven Teil wird als Hahn-Zerlegung (oder Hahnsche Zerlegung) bezeichnet.Die Zerlegung ist eindeutig modulo Nullmengen, gibt es also eine zweite Zerlegung
mit diesen Eigenschaften, so haben die symmetrischen Differenzen das Maß Null:
. wird also in zwei gewöhnliche (vorzeichenlose) Maße 
und 
zerlegt, sodass
,
wobei
und für jede messbare Menge 
durch
und
definiert sind.
wird die obere Variation, die untere Variation von genannt. 
ist ebenfalls ein Maß und wird die vollständige oder totale Variation des Maßes genannt. Die Darstellung von als Differenz der oberen und der unteren Variation nennt man die Jordan-Zerlegung des Maßes.Dieser Name bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt.
Literatur
- C. Jordan, Sur la Série de Fourier, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série Mathématique, Vol. 92, No. 5, pp. 228-230, 1881.
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