Hamilton-Gleichung

Die hamiltonsche Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts- und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich frei vorgeben kann. Danach bestimmt die Hamilton-Funktion durch die hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wie sich die Orte und Impulse der Teilchen bei Vernachlässigung von Reibung mit der Zeit ändern.

Die Bewegungsgleichungen wurden 1834 von William Rowan Hamilton angegeben.

Alle Bewegungsgleichungen, die aus einem Wirkungsprinzip folgen, kann man als hamiltonsche Bewegungsgleichungen formulieren. Dabei hat die äquivalente hamiltonsche Formulierung zwei entscheidende Vorteile: Zum einen kann man zeigen, dass die Bewegung im Phasenraum flächentreu ist (siehe Henri Poincaré). Daraus folgt, dass es bei der Bewegung im Phasenraum Wirbel und Staupunkte gibt, vergleichbar dem Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit. Zum anderen besitzen die hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine große Gruppe von Transformationen, die kanonischen Transformationen, die sie in andere, manchmal lösbare hamiltonsche Gleichungen zu transformieren gestattet.

Man untersucht mit ihnen insbesondere integrable und chaotische Bewegung und verwendet sie in der statistischen Physik.

Einzelheiten

Die Hamilton-Funktion $\mathcal H(t,q,p)$ eines Systems von Teilchen ist ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten $q=(q^1,q^2\dots q^n)$ (Die oben stehenden Zahlen bedeuten hier keinen Exponenten, sondern zählen die Komponenten ab.) und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten $p=(p_1,p_2\dots p_n)$ der Teilchen ab und kann auch von der Zeit t abhängen.

Die Zahl n der Koordinaten und Impulse nennt man die Zahl der Freiheitsgrade. Der Phasenraum ist $2\,n$ dimensional.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die hamiltonschen Bewegungsgleichungen,

$\dot q^k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^k} \,,\ k=1,2\dots n\,.$

Dies ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung für die $2\,n$ unbekannten Funktionen der Zeit, $q(t),p(t)\,.$

Wenn die Hamiltonfunktion nicht explizit von t abhängt, dann schneiden sich die Lösungskurven nicht und es geht durch jeden Punkt des Phasenraums eine Lösungskurve.

Bei zeitabhängigen $\mathcal H(t,q,p)$ kann man die Zeit als einen zusätzlichen Freiheitsgrad t = q⁰ mit zugehörigem Impuls p₀ und der zeitunabhängigen Hamiltonfunktion $\hat{\mathcal H}(q^0,q,p_0,p) = \mathcal H(q^0,q,p)+p_0$ auffassen. Daher beschränken wir uns im folgenden auf zeitunabhängige Hamiltonfunktionen. Allerdings ist die Funktion $\mathcal H(q^0,q,p)+p_0$ nicht nach unten beschränkt und die Hyperfläche konstanter Energie $\hat\mathcal H=E$ ist nicht, wie bei einigen Überlegungen vorausgesetzt, kompakt.

Teilchen im Potential

Bei einem Teilchen der Masse m, das sich nichtrelativistisch in einem Potential V bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen

$\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)\,.$

Die zugehörigen hamiltonschen Bewegungsgleichungen

$\dot q^k =\frac{p_k}{m}\ ,\ \dot{p}_k = - \frac{\partial V}{\partial q^k}\,,$  sind Newtons Gleichungen für die

Bewegung in einem konservativen Kraftfeld,

$m\,\ddot q^k = F_k = - \frac{\partial V}{\partial q^k}\,.$

Insbesondere ist das Potential eines eindimensionalen (n = 1) harmonischen Oszillators $V(q)=\frac 1 2 \,m\,\omega^2 \,q^2\,.$ Die hooksche Federkraft in der Bewegungsgleichung

$m\,\ddot q = - m\,\omega^2\, q$

bewirkt, dass die Bahn um die Ruhelage schwingt,

$q(t) = A\, \cos \bigl(\omega\,(t-t_0)\bigr)\,.$

Dabei ist A die Amplitude und t₀ eine Zeit, zu der diese maximale Auslenkung durchlaufen wird.

Freies relativistisches Teilchen

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung $E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4$ ist die Hamilton-Funktion

$\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}\,.$

Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen besagen, wie die Geschwindigkeit mit dem Impuls zusammenhängt und dass sich der Impuls nicht mit der Zeit ändert,

$\dot q^k = \frac{p_k\,c^ 2}{\sqrt{m^2\,c^4 + \mathbf p^ 2\,c^ 2}}\ ,\ \dot p_k = 0\,.$

Wenn die Hamiltonfunktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie, sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

Wirkungsprinzip

Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgen aus dem hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung. Von allen denkbaren Bahnen im Phasenraum,

$\Gamma: t \mapsto \bigl(q(t),p(t)\bigr)\,,$

die anfänglich zur Zeit $\underline{t}$ durch den Anfangspunkt

$\bigl(\underline q, \underline p\bigr)=\bigl(q(\underline t),p(\underline t)\bigr)$

und schließlich zur Zeit $\overline{t}$ durch den Endpunkt

$\bigl(\overline q, \overline p\bigr)=\bigl(q(\overline t),p(\overline t)\bigr)$

laufen, ist die physikalisch durchlaufene Bahn diejenige, auf der die Wirkung

$W[\Gamma]=\int_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t\,\left(\sum_{i=1}^n p_i(t)\, \frac{\mathrm d q^i(t)}{\mathrm d t} - \mathcal H(q(t),p(t)) \right)$

stationär ist.

Betrachtet man nämlich eine einparametrige Schar von Kurven

$\Gamma_\alpha: t \mapsto \bigl(q(t,\alpha),p(t,\alpha)\bigr)\,,$

die anfänglich zur Zeit $\underline{t}$ durch den Anfangspunkt

$\bigl(\underline q, \underline p\bigr)=\bigl(q(\underline t,\alpha),p(\underline t,\alpha)\bigr)$

und schließlich zur Zeit $\overline{t}$ durch den Endpunkt

$\bigl(\overline q, \overline p\bigr)=\bigl(q(\overline t,\alpha),p(\overline t,\alpha)\bigr)$

laufen, so ist die Wirkung W[Γ_α] für α = 0 extremal, falls dort die Ableitung nach α verschwindet.

Wir bezeichnen diese Ableitung als Variation der Wirkung

$\delta W = \frac{\partial W[\Gamma_\alpha]}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}\,.$

Ebenso ist

$\delta q^i = \frac{\partial q^i(t,\alpha)}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}$

die Variation des Ortes und

$\delta p_i = \frac{\partial p_i(t,\alpha)}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}$

die Variation des Impulses.

Die Variation der Wirkung ist nach Kettenregel

$\delta W=\sum_{i=1}^n \int_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t \Bigl( \delta p_i(t)\,\frac{\mathrm d q^i(t)}{\mathrm d t}+ p_i(t)\,\frac{\mathrm d \delta q^i(t)}{\mathrm d t} - \delta q^i(t)\,\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}_{|_{(q(t),p(t))}} - \delta p_i(t)\,\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\Bigr)\,.$

Den zweiten Term schreiben wir als vollständige Zeitableitung und einen Term, bei dem δqⁱ ohne Zeitableitung auftritt.

$p_i(t)\,\frac{\mathrm d \delta q^i(t)}{\mathrm d t}= \frac{\mathrm d \bigl(p_i(t)\, \delta q^i(t)\bigr)}{\mathrm d t} - \frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}\, \delta q^i(t)$

Das Integral über die vollständige Ableitung ergibt $\bigl(p_i(t)\, \delta q^i(t)\bigr)$ zur Anfangs- und Endzeit und verschwindet, weil dann δqⁱ verschwindet, denn es gehen alle Kurven der Schar durch dieselben Anfangs- und Endpunkte. Fassen wir schließlich die Terme mit δqⁱ und δp_i zusammen, so beträgt die Variation der Wirkung

$\delta W=\sum_{i=1}^n \int_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t \Bigl( -\delta q^i(t)\bigl(\frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}+ \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}_{|_{(q(t),p(t))}}\bigr) + \delta p_i(t)\bigl(\frac{\mathrm d q^i(t)}{\mathrm d t}- \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\bigr)\Bigr)\,.$

Damit die Wirkung stationär ist, muss dieses Integral für alle δqⁱ und alle δp_i verschwinden, die anfänglich und schließlich verschwinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Faktoren verschwinden, mit denen sie im Integral auftreten,

$0 = \frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}+ \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}_{|_{(q(t),p(t))}}\,,\, 0= \frac{\mathrm d q^i(t)}{\mathrm d t}- \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\,.$

Die Wirkung ist also stationär, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

Zusammenhang zur Lagrange-Funktion

Die Hamiltonfunktion ist die bezüglich der Geschwindigkeiten $\dot q=(\dot q^1,\dot q^2\dots \dot q^n)$ Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion $\mathcal L(q,\dot q)\,.$

$\mathcal H(q,p)= \sum_{k=1}^n p_k\, \dot q^k(q,p) - \mathcal L(q,\dot q(q,p))\,.$

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten $\dot q$ diejenigen Funktionen $\dot q(q,p)$ gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse

$p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^k}$

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Wenn man die Definition der Impulse invertieren und nach den Geschwindigkeiten auflösen kann, dann gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen genau dann, wenn die Euler-Lagrange-Gleichungen der Wirkung

$W[\Gamma]=\int_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t\, \mathcal L(q(t),\dot q(t))$

erfüllt sind. Denn die partielle Ableitung von $\mathcal H$ nach den Impulsen ergibt nach Kettenregel und der Definition der Impulse

$\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot q^i + \sum_j p_j \frac{\partial \dot q^j}{\partial p_i} - \sum_j \frac{\partial \dot q^j}{\partial p_i} \underbrace{\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^j}}_{p_j} = \dot q^i$

Ebenso ergibt die Ableitung nach den Ortskoordinaten

$\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = \sum_j p_j \frac{\partial \dot q^j}{\partial q^i} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i} - \sum_j \frac{\partial \dot q^j}{\partial q^i} \underbrace{\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^j}}_{p_j} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}$

Die Euler-Lagrange-Gleichung besagt

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^i} = \dot{p}_i\,.$

Also gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wenn die Euler-Lagrange-Gleichung gilt. Umgekehrt gilt die Euler-Lagrange-Gleichung, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

Beispielsweise hängt beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

$\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}$

der Impuls gemäß

$\mathbf p=\frac{m \dot \mathbf q}{\sqrt{1-\dot \mathbf q^2/c^2}}$

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

$\dot\mathbf q=\frac{\mathbf p\,c^ 2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}$

des Impulses. In die obige Gleichung für $\mathcal H$ eingesetzt ergibt sich die schon angegebene Hamiltonfunktion des freien, relativistischen Teilchens.

Hängt die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit ab, dann besagt das Noether-Theorem, dass die Energie

$E(q,\dot q)=\sum_k \dot q^k \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^k} - \mathcal L$

auf den physikalischen Bahnen ihren anfänglichen Wert behält. Der Vergleich mit der Legendre-Transformation zeigt, dass es sich bei der Hamilton-Funktion um diese Energie handelt, bei der die Geschwindigkeiten als Funktion der Impulse aufzufassen sind,

$\mathcal H(q,p) = E(q,\dot q(q,p))\,.$

Poisson-Klammer

Der Wert einer Phasenraumfunktion Φ(t,q,p) ändert sich auf Bahnen (q(t),p(t)) mit der Zeit dadurch, dass er explizit von t abhängt und dadurch, dass sich der Bahnpunkt ändert,

$\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \sum_i \bigl( \frac{\partial \Phi}{\partial q^i}\frac{\mathrm d q^i}{\mathrm d t}+ \frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\mathrm d p_i}{\mathrm d t}\Bigr)\,.$

Die physikalisch durchlaufene Bahnen genügen den hamiltonschen Bewegungsgleichungen. Auf physikalischen Bahnen gilt

$\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \sum_i \Bigl( \frac{\partial \Phi}{\partial q^i}\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} - \frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}\Bigr) \,.$

Mit der von Siméon Denis Poisson eingeführten Poisson-Klammer zweier Phasenraumfunktionen Φ und Ψ

$\bigl\{\Phi, \Psi\bigr \}= \sum_i \Bigl( \frac{\partial \Phi}{\partial q^i}\frac{\partial \Psi}{\partial p_i} - \frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\partial \Psi}{\partial q^i}\Bigr) \,.$

gilt also

$\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} = \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \bigl\{\Phi, \mathcal H \bigr \} \,.$

Mit Poisson-Klammern geschrieben gleicht das Formelbild der hamiltonschen Bewegungsgleichungen den heisenbergschen Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik.

Als Koordinatenfunktionen aufgefasst haben die Phasenraumkoordinaten die Poisson-Klammern

$\{q^i,q^j\}=0=\{p_i,p_j\}\,,\,\{q^i,p_j\}=\delta^i{}_j\,.$

Ihnen entsprechen in der Quantenmechanik nach kanonischer Quantisierung die kanonischen Vertauschungsrelationen.

Die Poisson-Klammer ist antisymmetrisch, linear und genügt der Produktregel und der Jacobi-Identität. Für alle Zahlen a und b und alle Phasenraumfunktionen $\Psi\,,\Phi\,,\Lambda\,,$ gilt

• $\{\Psi,\Phi\}= -\{\Phi,\Psi\}\,,$
• $\{\Psi,a\,\Phi+b\,\Lambda\}= a\,\{\Psi,\Phi\}+b\,\{\Psi,\Lambda\}\,,$
• $\{\Psi,\Phi\,\,\Lambda\}=\{\Psi,\Phi\}\,\Lambda + \Phi\,\{\Psi,\Lambda\}\,,$
• $\{\Psi,\{\Phi,\Lambda\}\} + \{\Phi,\{\Lambda,\Psi\}\} + \{\Lambda,\{\Psi,\Phi\}\} = 0\,.$

Die differenzierbaren Phasenraumfunktionen bilden eine Lie-Algebra mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt.

Hamiltonscher Fluss

Zu jeder (zeitunabhängigen) Phasenraumfunktion Φ gehört das Vektorfeld $v_{\Phi}\,,$

$v_\Phi(\Psi)=\{\Psi,\Phi\}\,,$

das Phasenraumfunktionen Ψ längs der Kurven ableitet, die die hamiltonschen Gleichungen mit $\mathcal H = \Phi$ lösen.

Die Abbildung Φ_t der Anfangswerte der Lösungskurven (q(0),p(0)) auf (q(t),p(t)) ist der zu Φ gehörige hamiltonsche Fluss.

Symplektische Struktur

Der Phasenraum mit seiner Poisson-Klammer ist eine Symplektische Mannigfaltigkeit mit der symplektischen Form

$\omega=\sum_i \mathrm d q^i\,\mathrm d p_i\,.$

Angewendet auf die zu Φ und Ψ gehörigen Vektorfelder ergibt diese Zweiform die Poisson-Klammer der beiden Funktionen,

$\omega\,(v_\Phi,v_\Psi)=\{\Phi,\Psi\}\,.$

Die symplektische Form ist invariant unter jedem hamiltonschen Fluss. Dies besagt folgendes: Ist anfänglich eine zweidimensionale Fläche F im Phasenraum gegeben, dann wird sie mit der Zeit durch den hamiltonschen Fluss einer Phasenraumfunktion Φ auf die Fläche Φ_t(F) abgebildet. Die mit der symplektischen Form gemessene Größe der Anfangsfläche stimmt mit der Größe zu jeder späteren Zeit überein. Hamiltonscher Fluss ist flächentreu,

$\int_F\omega = \int_{\Phi_t(F)}\omega\,.$

Da das Flächenelement ω invariant ist, ist auch das Volumenelement $\omega^n=n!\,\mathrm d^nq\,\mathrm d^n p$ invariant unter hamiltonschem Fluss. Dieser Befund ist Liouvilles Theorem. Das Volumen eines Bereichs B des Phasenraumes ändert sich nicht bei hamiltonscher Zeitentwicklung,

$\int_B\omega^n = \int_{\Phi_t(B)}\omega^n\,.$

Insbesondere bleibt der Bereich, innerhalb dessen sich das System anfänglich wegen der Messfehler befindet, gleich groß. Daraus kann man allerdings nicht schließen, dass sich anfängliche Unkenntnis nicht vergrößert. Bei chaotischer Bewegung können Anfangswerte, die sich zunächst nur durch kleine Messfehler unterschieden, auf einen großen Bereich mit vielen kleinen Löchern wie Schlagsahne verteilt werden. Auch Schlagen von Sahne vergrößert ihr mikroskopisch ermitteltes Volumen nicht.

Kanonische Transformation

Die Hamilton-Gleichungen vereinfachen sich, falls die Hamiltonfunktion von einer Variablen, beispielsweise $q^1\,,$ nicht abhängt. Dann liegt eine Symmetrie vor: die Hamiltonfunktion ist invariant unter der Verschiebung von $q^1\,.$ Umgekehrt können bei Vorliegen einer Symmetrie (in einer Umgebung eines Punktes, der kein Fixpunkt ist) die Orts- und Impulsvariablen so gewählt werden, dass die Hamilton-Funktion von einer Variablen q¹ nicht abhängt. Dann ist einfach $p_1(t)=p_1(0)\,.$

Integrable Bewegung

Die Bewegungsgleichungen sind integrabel, wenn die Hamilton-Funktion nur von den Impulsen abhängt. Dann sind die Impulse konstant und die Ableitungen der Hamiltonfunktion nach den Impulsen sind die zeitlich konstanten Geschwindigkeiten, mit denen die Koordinaten q linear zunehmen,

$\dot q^k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}=\omega^k(p)\,,\ \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^k}=0\,,\ p_k(t)=p_k(0)\,,\ q^k(t)=\omega^k(p)\,t+q^k(0)\,.$

Ist zudem die Phasenraumfläche konstanter Energie $\mathcal{H}(q,p)=E$ kompakt, dann handelt es sich bei den Koordinaten q^k um die Winkel auf einem Torus, die um 2π vergrößert wieder denselben Punkt benennen,

$q^k \sim q^k + 2\pi\,.$

Der Phasenraum solch eines integrablen Systems besteht aus n-dimensionalen Tori, um die sich die Lösungskurven der hamiltonschen Gleichungen winden.

Zusammenhang zur Quantenmechanik

So wie in der Mechanik die Hamiltonfunktion die Zeitentwicklung bestimmt, so bestimmt der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn für viele quantenmechanische Systeme aus der Hamiltonfunktion des entsprechenden klassischen Systems durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für $\mathcal H(q,p)$ als Funktion von Operatoren q und p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Quellen

• V. I. Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3

Siehe auch

• Poisson-Klammer
• Feldtheorie
• Hamilton-Jacobi-Formalismus
• Quantenmechanik
• Hamilton-Operator