Hamilton-Funktion

Die Hamilton-Funktion $\mathcal H(t,q,p)$ (nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist seine Energie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen. Sie hängt von der Zeit t, den generalisierten Koordinaten $q=(q_1,q_2\dots q_n)$ und den generalisierten Impulsen $p=(p_1,p_2\dots p_n)$ ab.

Bei einem Teilchen der Masse m, das sich nichtrelativistisch in einem Potential V bewegt, setzt sie sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

$\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)$

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

$E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4$

ist die Hamilton-Funktion

$\mathcal H(t,\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}\,.$

Wenn die Hamiltonfunktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie; sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

Die Hamiltonfunktion ist die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion $\mathcal L(t,q,\dot q)$, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten $\dot q=(\dot q_1,\dot q_2\dots \dot q_n)$ abhängt:

$\mathcal H(t,q,p)= \sum_{k=1}^n \dot q_k\, p_k - \mathcal L(t, q,\dot q)$

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten $\dot q$ diejenigen Funktionen $\dot q(t,q,p)$ gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse

$p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k}$

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Beispielsweise hängt beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

$\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}$

der Impuls gemäß

$\mathbf p=\frac{m \dot{\mathbf q}}{\sqrt{1-\dot{\mathbf q^2}/c^2}}$

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

$\dot{\mathbf q}=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}$

des Impulses.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen

$\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\ ,\quad \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} \,.$

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch sogenannte kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für $\mathcal H(t,q,p)$ als Funktion von Operatoren q und p liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Siehe auch

• Hamiltonsche Mechanik

Literatur

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr ; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3 Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7 Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.