Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem), teilbar ist. Beispielsweise ist 777 durch 7 + 7 + 7 = 21 teilbar: $777=21\cdot37$.

Die ersten Harshad-Zahlen sind:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50,\ldots$

(Folge A005349 in OEIS)

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

Jede natürliche Zahl der Form nnn, wobei n eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist eine Harshad-Zahl, lässt sich also durch ihre Quersumme teilen.

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

$nnn = n\cdot10^2+n\cdot10^1+n\cdot10^0$

$= n\cdot(100+10+1)$

$= n\cdot111$

$= n\cdot(3\cdot37)$

$= (n\cdot3)\cdot37$

Nun ist aber die Quersumme von $nnn\colon~ n+n+n = n\cdot3$. Somit ist jede natürliche Zahl der Form nnn das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q.e.d.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha ("Freude") abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen an einem Kongress im Jahre 1997 beschrieb.

Quellen

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174–175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
• Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996–1997): 201–205

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Harshad Number. In: MathWorld. (englisch)
• Harshad number auf PlanetMath
• Harshad Number in der Internet Encyclopedia of Science