Herbrand-Expansion

Die Herbrand-Expansion stellt eine Menge von prädikatenlogischen Formeln dar, die aus einer gegebenen Formel F durch eine spezielle Art der Substitution abgeleitet werden können. Mit Hilfe dieser Formelmenge kann die Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel in einer aussagenlogischen Form abgebildet werden. Die Herbrand-Expansion wurde nach dem französischen Logiker Jacques Herbrand benannt.

Definition

Sei $F=\forall y_1 \forall y_2 ... \forall y_n F^*$ eine geschlossene Formel in Skolemform, F* bezeichne die quantorenfreie Matrix.

Für F wird die Herbrand-Expansion E(F) definiert mit:

$E \left(F \right) = \left\{ F^* \left[ y_1 / t_1 \right] \left[ y_2 / t_2 \right] ... \left[ y_n / t_n \right] | t_1 ... t_n \in D\left( F \right) \right\}$

D(F) ist das Herbrand-Universum von F.

Umgangssprachlich: Alle Variablen in der Matrix F* werden durch Terme aus D(F) ersetzt, alle Möglichkeiten werden durchgespielt. Man spricht auch von der Menge der Instanzen der Formel F.

Beispiel

Sei $F=\forall x \forall y \forall z P( x, f(y), g(z,x) )$

Dann ist $D\left( F \right) = \{a, f(a), g(a,a), f(g(a,a)), g(f(a),f(a)),... \}$ siehe Herbrand-Universum

die einfachsten Formeln in $E \left(F \right)$ sind:

$P\left (a, f(a), g(a,a)\right)$	mit	$\left[ x / a \right]\left[ y / a \right]\left[ z / a \right]$
$P\left (f(a), f(a), g(a,f(a))\right)$	mit	$\left[ x / f(a) \right]\left[ y / a \right]\left[ z / a \right]$
$P\left (a, f(a), g(g(a,a),a)\right)$	mit	$\left[ x / a \right]\left[ y / a \right]\left[ z / g(a,a) \right]$

Man beachte, dass in diesem Fall $E\left (F \right)$ unendlich ist. Die Formeln können jetzt wie aussagenlogische Formeln (Aussagenlogik) behandelt werden, da sie keine Variablen enthalten.

Siehe auch

• Satz von Herbrand

Literatur

• Schöning, Uwe: Logik für Informatiker. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-8274-1005-3.