Hénon-Abbildung

Hénon-Abbildung für die Parameter a=1,4 und b=0,3: hufeisenförmiges Gebilde

Der französische Astronom Michel Hénon fand die folgende 2-dimensionale Abbildung, die sog. Hénon-Abbildung, die aus einer Vereinfachung der Lorenz-Gleichung der Meteorologie (eines der ersten dynamischen Systeme, in denen man chaotisches Verhalten gefunden hat) hervorgeht:

$\begin{matrix} x_{n+1} = 1+y_{n}-ax_{n}^{2} \\ y_{n+1} = bx_{n} \end{matrix}$

mit $a>0, 0 \leq b\leq 1$. Hierbei sind a und b die Kontrollparamenter des Systems.

Die Hénon-Abbildung setzt sich aus insgesamt drei Elementarabbildungen Abb_k mit k=1,2,3 zusammen:

• nichtlineare Verbiegung der y-Koordinate: Abb₁(x,y) = (x,1 + y + ax²),
• Kontraktion der x-Koordinate: Abb₂(x,y) = (bx,y) für 0<b<1,
• Spiegelung an der Hauptdiagonalen y=x: Abb₃(x,y) = (y,x).

Es sei noch erwähnt, dass eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Abbildung die Selbstähnlichkeit ist. In einfachen Worten ausgedrückt verstehen wir darunter eine fraktale Vergrößerung eines beliebigen Teilbereichs, der wieder ähnlich zu seinem Anfangsobjekt ist. Die Hénon-Abbildung ist ein seltsamer Attraktor.