Diskretes System

Bei kontinuierlichen dynamischen Systemen betrachtet man eine stetige Zeitachse $\mathbb{T}$, wie z. B. $\mathbb{T}=\mathbb{R}$. Lässt man nur diskrete Zeiten zu wie $\mathbb{T}=\mathbb{Z}$, so spricht man von einem diskreten dynamischen System. Diese Diskretisierung findet zum einen in der Numerik eine große Anwendung, wie z. B. bei der Rückwärtsanalyse. Zum Anderen existieren natürliche und technische Systeme, die durch nichtkontinuierliche Zusandsänderungen charakterisiert werden und in direkter Weise durch diskrete Dynamische Systeme modelliert werden können.

Es sei ein metrischer Raum X vorgegeben. $\Phi:X \times \mathbb{T} \rightarrow X$ sei eine stetige Abbildung $(x,n) \in X \times \mathbb{T}$. Ein diskretes dynamisches System (oder auch diskreter Fluss) ist ein Tripel $(X,\Phi,\mathbb{T})$ und besitzt die Eigenschaften:

(1) Φ(x,0) = Φ⁰(x) = x für alle $x \in X$

(2) $\Phi(x,n)=\Phi^{n}(x)=\underbrace{\Phi \circ \Phi \circ \ldots \circ \Phi (x)}_{n-mal}$ für alle $x \in X$ und $n \in \mathbb{Z}$.

Unter (1) versteht man die Identitätseigenschaft, d. h. ein Zustand verändert sich nicht nach 0 Zeiteinheiten. (2) gibt die Halbgruppeneigenschaft wieder.

Ist $x_{0} \in X$ der Anfangszustand, x₁ = Φ(x₀) der Zustand zum Zeitpunkt t=1 usw. und x_n der Zustand zum Zeitpunkt $n \in \mathbb{Z}$, so beschreibt x_{n + 1} = Φ(x_n) die Dynamik des diskreten Systems.

Wie bei dynamischen Systemen interessiert man sich bei der Untersuchung von diskreten Systemen für Fixpunkte oder allgemeiner für Limesmengen und deren Stabilität. In chaotischen Abbildungen, wie z. B. der Bernoulli-Abbildung, logistischen Abbildung oder Hénon-Abbildung, spielen Diskretisierungen eine große Rolle, um die iterierten Abbildungen diskutieren zu können.