Impulsinvarianz-Transformation

Die Impulsinvarianz-Transformation (Impulsinvariante-Transformation, IIR) ist ein mathematisches Verfahren (eine systemantwortinvariante Transformationen) und dient zur Synthese zeitdiskreter, hauptsächlich digitaler Filter.

Erläuterung

Hierfür wird die Impulsantwort eines analogen Filters g_a(t) durch äquidistante Abtastung in die zeitdiskrete Impulsantwort g(k) mit g(k) = g_a(kT) überführt. Die Impulsantwort des zeitdiskreten Filters stimmt somit an den Abtastzeitpunkten kT mit der Impulsantwort des analogen Filters überein.

Ebenso wie die Laplace-Transformation die Impulsantwort g_a(t) in den Frequenzbereich transformiert, die sich dann als

$G_a(s)=\sum_{n=1}^N \frac{A_n}{s-p_n}$ mit $N < \infty$

darstellt, kann die zeitdiskrete Impulsantwort g(k) mit Hilfe der Z-Transformation in den Frequenzbereich erhoben werden. Es ergibt sich abschließend:

$G(z)=\sum_{n=1}^N \frac{A_n}{1-e^{p_n T} z^{-1}}$

Der Zusammenhang ist somit offensichtlich:

$\frac{A_n}{s-p_n}\rightarrow\ \frac{A_n}{1-e^{p_n T} z^{-1}}$

Hierdurch kann also ein zeitdiskretes Filter entworfen werden, welches an den Abtastzeitpunkten kT die gleiche Impulsantwort hat, wie ein entsprechendes analoges Filter. Dies macht sich bei geeignet hoher Abtastung im Frequenzbereich kaum bemerkbar. Das zeitdiskrete Filter approximiert somit den Frequenzgang des analogen Filters.

Literatur

• Hermann Götz: Einführung in die digitale Signalverarbeitung. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1998, ISBN 3-519-20117-8, (Teubner-Studienskripten 117 Elektrotechnik).
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. durchgesehene Auflage. Oldenbourg, München u. a. 1999, ISBN 3-486-22948-6.