Z-Transformation

Z-Transformation

Die Z-Transformation wandelt ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich, also eine zeitliche Abfolge von im Allgemeinen komplexen Zahlen, in ein komplexes diskretes Signal im Frequenzbereich um. Die zeitdiskrete Z-Transformation ist das Analogon zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale. Der Zusammenhang der beiden Transformationen kann über die bilineare Transformation erfolgen, womit zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme bzw. umgekehrt übergeführt werden können.

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ (siehe Dobesch) eingeführt. Dabei steht die Z-Transformation in einer ähnlichen Beziehung zur zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht zu verwechseln mit der ähnlichen diskreten Fourier-Transformation), wie die Laplace-Transformation zur Fourier-Transformation.

Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation

Inhaltsverzeichnis

Definition

Bilaterale Z-Transformation

Die bilaterale Z-Transformation eines Signals x[n] ist die formale Laurent-Reihe X(z):

X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \

wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft und z, im Allgemeinen, eine komplexe Zahl der Form:

z = Aejφ = σ + jω

ist. A ist der Betrag von z und φ der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann z auch in kartesischer Form als Realteil σ und Imaginärteil ω beschrieben werden.

Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die Z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale Z-Transformation

Wenn x[n] nur nichtnegative n Werte hat, kann die unilaterale Z-Transformation definiert werden:

X(z) = Z\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale Z-Transformation für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften

  • Linearität. Die Z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
Z({a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}) = a_{1}Z({x_{1}[n]}) + a_{2}Z({x_{2}[n]})\!
  • Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die Z-Transformierte mit z−k multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
Z({x[n-k]}) = z^{-k} Z({x[n]})\!
Z({x[n+k]}) = z^{k} \left(F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i}\right)
  • Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
Z({x[n]}*{y[n]}) = Z({x[n]})Z({y[n]})\!
  • Differentiation .
Z({n x[n]}) = \frac{-z \partial Z({x[n]})}{\partial z}

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen Z-Transformation

Es sei fn = f(n) und F(z) deren Z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

f_{n} \circ\!\!-\!\!\bullet F(z)

Dann gelten folgende Regeln:


\begin{array}{llcl}
\text{Verschiebungssatz}
  & f_{n-k} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{-k} F(z) \\
  & f_{n+k} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i})\\
  & f_{n+1} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{1} (F(z) -  f_0) \\
  & f_{n+2} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{2} (F(z) -  f_0 - f_1 z^{-1}) \\
\mathrm{D\ddot{a}mpfungssatz}
  & a^{-n} \cdot f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & F(a \cdot z) \\
\text{Ableitung der Bildfunktion}
  & n \cdot f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & -z \frac{dF(z)}{dz} \\
\text{Spektraler}
  & W(z) &=& U(z) \cdot V(z) \\
\text{Multiplikationssatz}
  & w_n  &=&  \sum_{k=0}^n u_{n-k} \cdot v_k = \sum_{k=0}^n u_{k} \cdot v_{n-k} \\
\text{Differenzensatz}
  & \Delta f_n &=&  f_{n+1} - f_n \\
  & \Delta^2 f_n &=& \Delta f_{n+1} - \Delta f_n =  f_{n+2} - 2 f_{n+1} + f_n \\
  & \Delta^2 f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & (z-1)^2 F(z) - z ((z-1) f_0 + \Delta f_0) \\
  & \Delta^k f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & (z-1)^k F(z) - z \sum_{i=0}^{k-1} (z-1)^{k-i-1} \Delta ^i f_0 \\
\text{Summensatz}
  & \sum_{k=0}^n f_k & \circ\!\!-\!\!\bullet & z \frac{F(z)}{z-1} \\
\text{1. Grenzwertsatz}
  & f_k &=& \lim_{z \to \infty} z^k \cdot (F(z) - \sum_{n=0}^{k-1} z^{-n} f_n) \\
  & f_0 &=& \lim_{z \to \infty} F(z) \\
\text{2. Grenzwertsatz}
  & \lim_{n \to \infty} f_n &=& \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) \\
\mathrm{Stabilit\ddot{a}t}
  & |z_{PK}| < 1 && \rightarrow \text{asymptotische Stabilit} \mathrm{\ddot{a} t}
\end{array}

Inverse Z-Transformation

Die inverse Z-Transformation kann mit der Formel

 x[n] = Z^{-1} \{X(z) \} \,=\, \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von X(z) liegt.

Die (unilaterale) Z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale Z-Transformation

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet | z | > R und  \lim_{z \to \infty} F(z) < \infty .

Mit Residuum

f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z),
f(nT) = \sum_{i=1}^{m} \operatorname{Res}_{z=z_i} (F(z) z^{n-1}) für n\geq 1

Mit Laurent-Reihe

Der Integrand F(z) \cdot z^{n-1} wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Laurent Reihe, also f(nτ) = A − 1.

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1
\frac{z^n}{z-1} \,=\, \frac{(1+ (z-1))^n}{z-1} \,=\, \sum_{k=0}^n  {n \choose k} 1^{n-k} (z-1)^{k-1} \,=\, \sum_{k=-1}^{n-1} {n-1 \choose k+1} 1^{n-k} (z-1)^{k},
A_{-1} \,=\, {n-1 \choose 0} \cdot 1^{n-1} (z-1)^0 \,=\, 1.
Beispiel 2
\frac{e^{zt}}{z-a} \,=\, \frac{e^{at}}{z-a} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((z-a)t)^k}{k!}
\,=\, e^{at} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-a)^{k-1} \cdot t^k }{k!},
A_{-1} \,=\, e^{at} \frac{ t^0 }{0!} \,=\, e^{at}.

Bei wesentlicher Singularität

f(n\tau) \,=\, \frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{d^n}{dz^n} f(1/z) \right)_{z=0}.

Berechnungsverfahren

Z-Transformationen mit einem begrenzten Bereich von n und einer begrenzten Anzahl von z-Werten können effizient mit dem Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die Diskrete Fourier-Transformation (kurz: DFT) ist ein Spezialfall der Z-Transformation bei der z auf dem Einheitskreis liegt.

Anwendung

In der Digitalen Regelungstechnik wird die Z-Transformation zur exakten Auslegung von Reglern verwendet. Dabei wird im zeitdiskreten Bereich die Abtastzeit und die Rechentotzeit berücksichtigt, die man im kontinuierlichen Bereich nicht genau modellieren kann. Die gewöhnlichen P-, I- und D-Regler haben dabei ihre digitale Entsprechung in Form einer Differenzengleichung. Darüber hinaus kann der digitale Regler aber auch ein beliebiges, der Regelstrecke angepasstes Verhalten haben, ohne dabei auf die kontinuierlichen Regler beschränkt zu sein.

Korrespondenzen

Zeitbereich Spektralbereich
x_n = \begin{cases}
 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 0 \\
 1 & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 0
\end{cases} \frac{z}{z - 1}
an \frac{z}{z - a}
an − 1 \frac{1}{z-a}
δn 1
eαn \frac{z}{z - e^{\alpha}}
cos(ωn) \frac{z(z - \cos(\omega))}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}
sin(ωn) \frac{z\sin(\omega)}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}
x_n = \begin{cases}
 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 0 \\
 n & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 0
\end{cases} \frac{z}{(z - 1)^2}
x_n = \begin{cases}
 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 1 \\
 a^{n - 1} & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 1
\end{cases} \frac{1}{z - a}

Literatur

  • Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Education, Upper Saddle River, N. J. 2004, ISBN 3-82-737077-9.
  • Norbert Bischof: Struktur und Bedeutung: Eine Einführung in die Systemtheorie für Psychologen, mit einer Einführung in die Methoden der mathematischen Systemanalyse einschließlich Z-Transformation. 2., korrigierte Auflage. Verlag Hans Huber, Bern 1998, ISBN 3-456-83080-7.
  • Heinz Dobesch: Laplace-Transformation von Abtastfunktionen : Einführung und Lösung von Differenzengleichungen. VEB Verlag Technik, Berlin 1970.
  • H. Clausert, G. Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2: Wechselströme, Drehstrom, Leitungen, Anwendungen der Fourier-, der Laplace- und der Z-Transformation. 9. Auflage. Verlag R.Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-27582-8.
  • N. Fliege: Systemtheorie. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-06140-6.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • transformation — [ trɑ̃sfɔrmasjɔ̃ ] n. f. • 1375; lat. transformatio 1 ♦ Action de transformer, opération par laquelle on transforme. ⇒ conversion. La transformation des matières premières. Industrie de transformation. « un de ces théoriciens qui ont rêvé [...]… …   Encyclopédie Universelle

  • Transformation — (root transform ) may refer to:Transformation is also referred to as a turn.In science: * Transformation (geometry), in mathematics, as a general term applies to mathematical functions. ** Data transformation (statistics) in statistics. *… …   Wikipedia

  • Transformation (Politikwissenschaft) — Transformation ist der grundlegende Wechsel oder Austausch des politischen Regimes und gegebenenfalls auch der gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Ordnung. Die Transformationsforschung in der Politikwissenschaft beschäftigt sich mit den… …   Deutsch Wikipedia

  • Transformation (Politologie) — Transformation bezeichnet in der Politikwissenschaft den grundlegenden Wechsel oder Austausch des politischen Regimes und gegebenenfalls auch der gesellschaftlichen und wirtschaftlichen Ordnung. Die Politikwissenschaft beschäftigt sich… …   Deutsch Wikipedia

  • Transformation d'Euler — Transformation binomiale En mathématiques, dans le domaine de l analyse combinatoire, la transformation binomiale est une suite d opérations transformant une suite en une autre, en calculant les différences entre les termes consécutifs. Cette… …   Wikipédia en Français

  • Transformation fetish — is a context of sexual fetishism in which a person becomes sexually aroused by descriptions or depictions of transformations, usually the transformations of people into other beings or objects. GroupsThe Transformation, or TF community does not… …   Wikipedia

  • Transformation de mellin — En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie… …   Wikipédia en Français

  • Transformation de Mobius — Transformation de Möbius La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d Alexandrov de noté , définies comme la… …   Wikipédia en Français

  • Transformation de möbius — La transformation de Möbius ne doit pas être confondue avec la transformée de Möbius Les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d Alexandrov de noté , définies comme la composée d un nombre fini d… …   Wikipédia en Français

  • Transformation grammaticale (Generativisme) — Transformation grammaticale Pour les articles homonymes, voir Transformation. La transformation grammaticale est une notion théorique dans le domaine de la linguistique descriptive. Sommaire 1 Présentation 2 Théori …   Wikipédia en Français

  • Transformation grammaticale (Générativisme) — Transformation grammaticale Pour les articles homonymes, voir Transformation. La transformation grammaticale est une notion théorique dans le domaine de la linguistique descriptive. Sommaire 1 Présentation 2 Théori …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”