Jeanssches Kriterium

Das Jeans-Kriterium (auch Jeans-Masse oder Jeanssches Kriterium, benannt nach James Jeans) ist eine Bedingung für die Stabilität, ob eine kosmische Gaswolke kollabiert und aus ihr letztendlich ein Stern entstehen kann. Es besagt, dass eine Gaswolke zu kollabieren beginnt, falls die kontrahierenden Gravitationskräfte stärker als die stabilisierende Kraft des Gasdruckes sind. Weitere stabilisierende Kräfte, die allerdings im Jeans-Kriterium nicht berücksichtigt werden, da dieses auf dem Modell einer vollkommen sphärischen und statischen Wolke aufbaut, sind vor allem die Zentrifugalkraft, aber auch Turbulenzen und der magnetische Druck.

Wird die kinetische Energie (also der Gasdruck) gegenüber der Gravitation zu klein oder die potentielle Energie (mit negativem Vorzeichen, da sie Arbeit am System leistet) zu groß, stürzt die Masse in sich zusammen.

Das Jeans-Kriterium folgt aus dem Virialsatz:

$2\cdot E_{kin} = - E_{pot}$

$E_{kin} = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T \cdot \frac{M}{\mu m}$

mit der Durchschnittlichen Masse der Gasatome μ in u und der Atommassenkonstante m. Für die potentielle Energie einer homogenen Kugel mit der Dichte ρ fügen wir zu einer inneren Kugel $M(r)=4\pi\rho\frac{r^3}{3}$ eine Schale der Masse dM hinzu und integrieren über den Energiegewinn $dE=\frac{-GM(r)}{r}dM(r)$. Ergo:

$E_{pot} = -\int_0^R G\frac{M(r) dM(r)}{r}=-\left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{-\frac{1}{3}}G\cdot\frac{3}{5}M^{\frac{5}{3}}=- \frac{3}{5}\cdot \frac{G M^2}{R}$

Damit folgt direkt für einen Kollaps der Wolke:

$M > \frac{5\cdot k\cdot T\cdot R}{\mu \cdot m \cdot G}$

Eliminiert man R mittels folgendem Ausdruck

$R = \left(\frac{3 M}{4 \pi \rho}\right)^{1/3}$

ergibt sich für die Masse bei der eine Wolke bei vorgegebener Dichte instabil wird:

$M > \left(\frac{5 k T}{G \mu m}\right)^{3/2} \cdot \left(\frac{3}{4 \pi \rho}\right)^{1/2}$

• M : Masse der Wolke
• k: Boltzmann-Konstante
• T: mittlere Temperatur der Wolke
• R: Radius der Wolke
• G: Gravitationskonstante
• $\mu\cdot m$: mittlere molare Masse, das heißt mittlere Teilchenmasse in der Wolke
• ρ: Dichte

Literatur und Quellen

• Longair, Malcolm S., "Galaxy Formation" 1998
• Unsöld, Baschek, "Der neue Kosmos" Springer, 1988