KAM-Theorem

KAM-Theorem

Das Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem (KAM-Theorem) ist ein Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme, das Aussagen über das Verhalten eines solchen Systems unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der kleinen Teiler, das in der Störungsrechnung von Dynamischen Systemen, insbesondere in der Himmelsmechanik, auftaucht.

Das KAM-Theorem entsprang der Fragestellung, ob eine kleine Störung eines konservativen dynamischen Systems zu einer quasiperiodischen Bewegung führt. Der Durchbruch bei der Beantwortung dieser Frage gelang Kolmogorow im Jahre 1954. Das Resultat wurde 1964 von Arnold für hamiltonsche Systeme und 1963 von Moser für sogenannte smooth twist maps streng bewiesen.

Heuristik

Das Hauptresultat der KAM-Theorie garantiert die Existenz von quasiperiodischen Lösungen für eine gewisse Klasse von Differentialgleichungen. Eine wichtige Unterklasse davon bilden die Differentialgleichungen für das sogenannte N-Körperproblem. Quasiperiodische Lösungen können nahe beieinander liegen, aber zwischen ihnen können instabile Bahnen liegen, so dass in der Praxis wegen z.B. endlicher Messgenauigkeit nicht entscheiden werden kann, ob man sich auf einer stabilen oder instabilen Bahn befindet. Für das Planetensystem kann gezeigt werden, dass die instabilen Bahnen sehr viel seltener sind als die stabilen.

Das Theorem

Falls ein ungestörtes System nicht entartet ist, dann werden für genügend kleine autonome hamiltonsche Störungen die meisten nicht resonanten Tori lediglich leicht deformiert, so dass auch im Phasenraum des gestörten Systems invariante Tori existieren, welche von den Phasenbahnen dicht und quasiperiodisch umsponnen werden, wobei die Frequenzen rational unabhängig sind. Diese invarianten Tori bilden die Mehrheit in dem Sinne, dass das Maß des Komplements ihrer Vereinigung klein ist, wenn die Störung schwach ist.

Referenzen


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Kam — steht für: Keep Alive Memory, batteriebetriebene Speicher für diagnostische Informationen in Kraftfahrzeugen Key Account Management, Teilbereich des Kundenmarketings Kolmogorow Arnold Moser Theorem, mathematischer Satz aus der Theorie der… …   Deutsch Wikipedia

  • KAM — steht für: Katechetische Arbeits und Medienstelle, Stelle für die Ausleihe von religiösen/katechetischen Inhalten, Medien sowie damit verbundenen Services in der Schweiz Keep Alive Memory, batteriebetriebene Speicher für diagnostische… …   Deutsch Wikipedia

  • KAM — may be:*Kolmogorov–Arnold–Moser theorem *The forerunner to KHAD, the secret police of the Democratic Republic of Afghanistan *Kam (rapper) *Kam Tai languages *Kam Heskin, actress *KAM canned meat see Canada Packers …   Wikipedia

  • Kolmogorov–Arnold–Moser theorem — The Kolmogorov–Arnold–Moser theorem is a result in dynamical systems about the persistence of quasi periodic motions under small perturbations. The theorem partly resolves the small divisor problem that arises in the perturbation theory of… …   Wikipedia

  • Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem — Das Kolmogorow Arnold Moser Theorem (kurz „KAM Theorem“) ist ein Resultat aus der Theorie der dynamischen Systeme, das Aussagen über das Verhalten eines solchen Systems unter kleinen Störungen macht. Das Theorem löst partiell das Problem der… …   Deutsch Wikipedia

  • Kochen-Specker-Theorem — Das Kochen Specker Theorem (KS Theorem) ist ein Satz aus dem Bereich der Grundlagen der Quantenmechanik, der die Unmöglichkeit eines nicht kontextuellen Modelles mit verborgenen Variablen der Quantenmechanik beweist. Neben der Bell schen… …   Deutsch Wikipedia

  • Fermats letztes Theorem — Pierre de Fermat. Der große fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen (1995 veröffentlicht). Er besagt, dass die n te Potenz einer Zahl, wenn n > 2 ist, nicht in die… …   Deutsch Wikipedia

  • Mackenroth-Theorem — Als Mackenroth These oder Mackenroth Theorem wird die von Gerhard Mackenroth 1952 formulierte Aussage bezeichnet, dass die Sozialausgaben einer Volkswirtschaft immer aus dem laufenden Volkseinkommen erbracht werden müssen: „Nun gilt der einfache… …   Deutsch Wikipedia

  • Mackenrothsches Theorem — Als Mackenroth These oder Mackenroth Theorem wird die von Gerhard Mackenroth 1952 formulierte Aussage bezeichnet, dass die Sozialausgaben einer Volkswirtschaft immer aus dem laufenden Volkseinkommen erbracht werden müssen: „Nun gilt der einfache… …   Deutsch Wikipedia

  • Nekhoroshev estimates — The Nekhoroshev estimates are an important result in the theory of Hamiltonian systems concerning the long time stability of solutions of integrable systems under a small perturbation of the Hamiltonian. The first paper on the subject was written …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”