Kegelprojektion

Beispiele unterschiedlicher Kartenprojektionen

Ein Kartennetzentwurf (auch Kartenabbildung genannt) ist eine Methode in der Kartographie, mit der man die gekrümmte Oberfläche der (dreidimensionalen) Erde auf die flache (zweidimensionale) Karte überträgt. Dieser Prozess der Modellbildung geschieht mit Hilfe von Abbildungsvorschriften, die man mathematisch ausdrücken kann. Kartenprojektionen kann man auch anschaulich graphisch oder geometrisch erklären.

In der modernen Entwicklung hin zur Geodateninfrastruktur (Technologie und Terminologie) bilden Kartennetzentwürfe eine spezielle Gattung von Koordinatenreferenzsystemen und stellen dabei eine Konversionsmethode von einem mathematischen Erdmodell in die Ebene dar. Es sind über 200 verschiedene Abbildungen bekannt.

Bei der Nutzung von Kartennetzentwürfen sind grundsätzlich drei Schritte notwendig:

1. Auswahl eines geeigneten Modells (normalerweise wählt man zwischen einer Kugel oder einem Ellipsoid) für die Form der Erde oder des abzubildenden Gegenstandes (beispielsweise anderer planetarischer Körper)
2. Umwandlung der geographischen Koordinaten (Länge und Breite) in ein kartesisches Koordinatensystem (x und y oder Rechtswert und Hochwert)
3. Skalierung der Karte (in der manuellen Kartografie kam dieser Schritt an zweiter Stelle, bei der digitalen Kartografie kann er zuletzt kommen)

Kategorien

Grundsätzlich klassifiziert man Kartennetzentwürfe entweder nach:

• echte / unechte (Pseudo-) Abbildungen
• der Abbildungsfläche
• der Lage der Abbildungsfläche
• oder den Abbildungseigenschaften (Verzerrungseigenschaften)

Viele Netzentwürfe wurden nach ihren Erfindern benannt.

Klassifikation nach Abbildungsflächen

Auswahl der Abbildungsfläche

Die meisten Kartennetzentwürfe sind keine "Projektionen" in physikalischer Hinsicht. Sie beruhen eher auf mathematischen Formeln. Um jedoch das Konzept der Kartenprojektion zu verstehen, ist es hilfreich, sich einen Globus mit einer Lichtquelle vorzustellen. Diese Lichtquelle projiziert die Punkte, Linien und Flächen des Globus auf die Oberfläche eines Hilfskörpers, die sich einfach in die Ebene abrollen lässt.

Als Hilfskörper kann man entweder eine Ebene, einen Kegel, einen Zylinder oder einen anderen Körper nutzen. Durch die Projektion der Globuselemente auf diese Hilfsfläche erhält man ein flaches Abbild. Allerdings muss man bei Kegel und Zylinder vorher noch die Oberfläche in die Ebene abrollen. Grundsätzlich kann man alle Kartenprojektionen nach der Art des genutzten Hilfskörpers unterscheiden.

Schließlich ist es von Bedeutung, ob die Hilfsfläche modellhaft den Globus berührt oder schneidet. Bei einer zylindrischen Abbildung berührt (in normaler Lage) die Abbildungsfläche den Globus rund um den Äquator (an dieser Stelle gibt es auch keine Verzerrungen), ein Schnittzylinder schneidet dagegen den Globus an den nördlichen und südlichen Breitenkreisen. Das Prinzip gilt für alle Abbildungshilfsflächen.

Hilfskörper	Projektionsname	Beispiel
Ebene	azimutale Abbildung Azimutalprojektion	Azimutalprojektion
Kegel	konische Abbildung Kegelprojektion	Kegelprojektion
Zylinder	zylindrische Abbildung Zylinderprojektion	Zylinderprojektion

Azimutale Abbildungen

Eine azimutale Abbildung berührt die Erde an einem Punkt. Viele azimutale Abbildungen sind echte perspektivische Projektionen, das heißt sie können auch geometrisch konstruiert werden. Diese Abbildungsart eignet sich besonders zur Darstellung kreisförmiger Gebiete, beispielsweise der Polgebiete.

Stereografische Projektion

Gnomonische Projektion

Orthografische Projektion

Folgende geometrische Projektionen mit einem Projektionszentrum sind üblich:

• stereografische Projektion, die konforme azimutale Abbildung, bei der das Projektionszentrum gegenüber dem Berührungspunkt liegt. Sie wird u. A. wegen der Winkeltreue für Sternenkarten verwendet.
• Gnomonische Projektion, auch Zentralprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Erdmittelpunkt liegt. Sie bildet alle Großkreise als Geraden ab. Daher wird sie gerne in der Navigation verwendet, um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu finden.
• Orthografische Azimutalprojektion, auch Parallelprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Unendlichen liegt, das heißt, die Projektionsstrahlen fallen parallel auf die Erdkugel. Sie wird zur anschaulichen Darstellung der Erdkugel, sowie zur Darstellung anderer Himmelskörper (Mond, Planeten) verwendet, da sie den Himmelskörper so darstellt, wie er im Weltraum (aus großer Entfernung) zu sehen wäre.

Mittabstandstreue Azimutalprojektion

Lambertsche Azimutalprojektion

Weitere Abbildungen sind rein mathematisch definiert. Sie lassen sich in der Regel nicht mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruieren. Dafür besitzen sie spezielle Eigenschaften, die von den geometrischen Projektionen nicht erreicht werden. Verwendung finden vor allem:

• Mittabstandstreue Azimutalprojektion, bei der die Abstände vom Kartenmittelpunkt unverzerrt wiedergegeben werden. Sie wird z.B. von Funkdiensten genutzt. Die Antenne steht im Berührungspunkt, und man kann so leicht die Himmelsrichtung und die Entfernung zu seinem Funkpartner ermitteln.
• Flächentreue Azimutalprojektion nach J.H. Lambert. Sie wird u.a. verwendet bei Atlaskarten.

Kegelabbildungen

Bei konischen Abbildungen (Kegelprojektionen) wird die Erde auf einen Kegel abgebildet. Die Kegelachse verläuft durch den Erdmittelpunkt. Die Lage der beiden Schnitt- oder des Berührkreises bestimmt Form und Lage des Kegels. Azimutale und zylindrische Abbildungen lassen ebenso über die Formeln der Kegelabbildung berechnen. Sie stellen sich als Grenzfälle der allgemeinen Kegelabbildung dar. Für Kegel in normaler Lage gilt:

Öffnungswinkel → 180°: azimutale Abbildung

Öffnungswinkel → 0°: zylindrische Abbildung

• Längentreue Kegelprojektion
• Lambertsche Schnittkegelprojektion (konform, d.h. winkeltreu)
• Albers-Kegelprojektion

Unechte Kegelabbildungen

• Bonnesche Projektion (Herzform)
• Stab-Wernersche Projektion (Herzform)

Zylinderabbildungen

Zylinderprojektionen werden mit Hilfe eines Zylinders um die Erde konstruiert.

• Mercator-Projektion
• Flächentreue Zylinderprojektion oder (Gall-)Peters-Projektion
• Längentreue Zylinderprojektion, Quadratische Plattkarte und Rechteckige Plattkarte
• Miller Zylinderprojektion
• Lamberts flächentreue Zylinderprojektion

Weiterhin werden beim Gauß-Krüger- und UTM-Koordinatensystem transversale Zylinderprojektionen (liegende Zylinderachse) genutzt.

Unechte Zylinderabbildungen

Unechte Zylinderabbildungen sind mathematisch konstruierte Abbildungen, auf denen der Mittelmeridian und alle Breitenkreise gerade Linien sind.

• Mercator-Sansonsche Zylinderprojektion
• Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
• Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)
• Eckert IV und Eckert VI
• Sinusoidal-Projektion
• Pseudo-Wenz

Klassifikation nach Lage/Aspekt der Abbildungsfläche

Nachdem die Wahl des Hilfskörpers feststeht, muss nun über seine Lage entschieden werden. Zur Beschreibung nutzt man die Erdachse und die Masselinie des Hilfskörpers. Bei einer Ebene ist das die Senkrechte, bei einem Zylinder die Mittellinie und bei einem Kegel die Mittellinie durch die Spitze. Die unterschiedlichen Abbildungsflächen lassen sich an beliebigen Stellen an die Kugeloberfläche anlegen. Die Wahl der Lage (= Aspekt der Abbildungsfläche) wird durch den abzubildenden Teil der Erdoberfläche bestimmt, für den die Abbildung optimiert werden soll:

• Normale Abbildungen
• Transversale Abbildungen
• Schiefachsige Abbildungen

Azimutalprojektion mit unterschiedlicher Lage

Lage/Aspekt	Beschreibung	Beispiel
normal oder polständig	Achse des Hilfskörpers entspricht Erdachse	Azimutalprojektion
transversal oder querachsig, äquatorständig	Achse des Hilfskörpers liegt senkrecht zur Erdachse	Azimutalprojektion
schiefachsig oder schiefständig	Achse des Hilfskörpers liegt schief zur Erdachse	Azimutalprojektion

Klassifikation nach Abbildungseigenschaften (Verzerrungseigenschaften)

Eine Karte sollte möglichst exakt das Original wiedergeben. Bei der Abbildung der Kugel auf die Ebene sind allerdings Verzerrungen unvermeidlich. Dieses Phänomen kann man sich am besten mit Hilfe einer Orange vorstellen: Selbst wenn man es schafft, diese in einem Stück zu schälen, kann man die Schale (Erdoberfläche) nur mit starkem Drücken flach bekommen (Papier) und nimmt dabei Verzerrungen in Kauf (die Schale dehnt sich, reißt oder faltet sich). Dieses Phänomen der Verzerrung lässt sich differenzialgeometrisch begründen. Zur Beschreibung der lokalen Verzerrungseigenschaften in einem Punkt wird die Tissotsche Indikatrix (Verzerrungsellipse) verwendet.

Somit können sich die Länge einer Strecke, die Größe und Form einer Fläche oder der Winkel zwischen zwei Linien durch die Kartenprojektion verändern. Demzufolge kann auch der Maßstab auf einer Karte variieren. Ein populäres Beispiel ist die nahezu riesige Darstellung von Grönland bei der Zylinderprojektion. Diese Verzerrungen lassen sich niemals vollständig beseitigen. Sämtliche Kartenprojektionen enthalten mindestens eine Form dieser Verzerrungen, weshalb man sich für bestimmte Vor- und Nachteile unter diesen Abbildungseigenschaften entscheiden muss:

• längentreue (äquidistante) Abbildung – einige Strecken sind korrekt abgebildet (beispielsweise für Streckenmessungen)
• flächentreue (äquivalente) Abbildung – alle Flächen sind dem Maßstab entsprechend korrekt abgebildet
• winkeltreue (konforme) Abbildung (beispielsweise zur Navigation oder für die Geodäsie)
• vermittelnde Verzerrungseigenschaften – Kompromisse zwischen Längentreue, Flächentreue oder Winkeltreue

Die Längentreue kann bei ebenen Karten nur begrenzt erreicht werden: in bestimmte Richtungen oder an bestimmten Punkten. Alle echten Abbildungen sind an den Berühr- bzw. Schnittkreisen längentreu. Eine absolute Längetreue in allen Punkten und allen Richtungen ist nicht möglich. Bei winkeltreuen Abbildungen ist die Längenverzerrung an einem bestimmten Punkt in jede Richtung (Azimut) gleich groß.

Der Globus bietet die Möglichkeit, alle metrischen Eigenschaften in einem bestimmten Maßstab nahezu korrekt wiederzugeben, obwohl dem Globus i. d. R. eine Kugel als Projektionsfläche dient. Die beste Annäherung an die tatsächliche Erdform ist das Geoid, das gegenüber dem Rotationsellipsoid den Einfluss von Gebirgen und Geologie auf das Schwerefeld der Erde berücksichtigt (Abweichung d. Radius von Geoid zum Rotationsellipsoid max. 119 m). Diese Abweichungen können beim Globus jedoch vernachlässigt werden, da die Zeichenungenauigkeit bedingt durch den kleinen Maßstab i. d. R. deutlich größer ist.

Längentreue Abbildungen

Diese Abbildungen sind nicht absolut längentreu, sondern lassen nur entlang weiterer Linien als den Berühr- bzw. Schnittkreisen längentreue Messungen zu.

• Quadratische Plattkarte und rechteckige Plattkarte (abstandstreue Zylinderabbildungen) - entlang der Meridiane
• Mittabstandstreue Azimutalprojektion - vom Mittelpunkt bzw. entlang der Radien
• Orthografische Azimutalprojektion - entlang der Kreise um den Berührpunkt
• Längentreue Kegelprojektion
• Sinusoidal-Projektion – entlang der Breitenkreise und des Mittelmeridians
• Werner Cordiform

Flächentreue Abbildungen

Diese Abbildungen stellen die Größe einer Fläche (z.B. eines Kontinents) korrekt dar. Die Form kann allerdings sehr stark verzerrt werden. Insbesondere am Kartenrand neigen diese Abbildungen zu starken Formverzerrungen.

• Peters-Projektion
• Gall zylindrische flächentreue Projektion
• Albers-Kegelprojektion
• Flächentreue Azimutalprojektion nach J. H. Lambert
• Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
• Hammer-Aitov-Projektion
• Briesemeister-Projektion
• Sinusoidal-Projektion
• Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)

Winkeltreue Abbildungen

Winkeltreue Abbildungen werden insbesondere bei der Navigation in der Schifffahrt und im Flugverkehr zur Erstellung von Karten benötigt, aber auch in der Kristallographie.

• Mercator-Projektion
• Stereographische Projektion
• Lambertsche Schnittkegelprojektion

Vermittelnde Abbildungen

Da keine Kartenabbildung alle Verzerrungen vollständig aufhebt, wurden einige vermittelnde Abbildungen als Kompromiss entwickelt. Bei ihnen wurde versucht die Verzerrungen zu minimieren.

• Robinson-Projektion
• Van-der-Grinten-Projektion
• Miller-Zylinderprojektion
• Winkels Projektion

unechte Abbildungen (Pseudo-Abbildungen)

In normaler Lage bleiben bei echten Abbildungen die Längenkreise Geraden, die Breitenkreise werden als dazu rechtwinklige konzentrische Kreise, Kreisbögen oder Geraden abgebildet. Alle anderen Abbildungen fallen in die Gruppe der unechten bez. Pseudo-Abbildungen.

unechte azimutale Abbildungen

• Aitoff 1889
• Hammer-Planisphäre (flächentreu)

unechte Kegelabbildungen

• Bonnesche Projektion, unechte Kegelabbildung (Herzform)
• Stab-Wernersche Projektion, unechte Kegelabbildung (Herzform)

unechte Zylinderabildungen

Im Unterschied zu den echten Zylinderabbildungen sind die Meridianbilder gekrümmte Linien.

• Mollweide-Projektion
• Eckert I - IV
• Sinusoidal-Projektion, Eckert V + VI
• Robinson-Projektion

Zerlappte Netze

• Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)
• Dymaxion-Projektion

Abbildungen in der Praxis

• Schweizer Landeskoordinaten
• Gauß-Krüger-Koordinatensystem für Deutschland und Österreich
• UTM-Koordinatensystem - Universale Transversale Mercatorprojektion (weltumspannendes Zonensystem)

Literatur

• Eugen Kunz: Kartennetzentwurfslehre. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe 1983
• Karlheinz Wagner: Kartographische Netzentwürfe. Bibliographisches Institut Mannheim, 2. Auflage 1962
• Annoni et al.: Map Projections For Europe. European Commission (EUR 20120), pdf ~5Mb

Weblinks

• Kartennetzentwürfe (Böhm-Wanderkarten)
• Kartenprojektionen mit schönen Abbildungen
• Kartennetzentwürfe (Seite von M. Panitzki)
• Kartenprojektionen Europas (MapRef.org) (engl./teilw. deutsche Inhalte)
• Map Projection Overview (engl.) - sehr umfassend
• Mathematical Cartography
• Hans Havlicek's Picture Gallery of Map Projections
• verschiedene Projektionen im Panotools wiki
• Cartographical Map Projections (engl.)
• Gallery of Map Projections