Komplexer Brechungsindex

Wellenfronten, die von einem Punkt ausgehen, nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz. Das Material unter der grauen Linien hat eine höhere Brechzahl, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist dazu proportional niedriger.

Die Brechzahl (oft auch als Brechungsindex bezeichnet) ist der Schlüsselbegriff der geometrischen Optik. Sie kennzeichnet die Brechung (Richtungsänderung) und das Reflexionsverhalten (Reflexion und Totalreflexion) von elektromagnetischen Wellen beim Treffen auf eine Grenzfläche zweier Medien.

Des Weiteren ist sie das Verhältnis zwischen der Phasengeschwindigkeit des Lichtes c₀ im Vakuum und seiner Phasengeschwindigkeit c im jeweiligen Medium:

$n = \frac{c_0}{c}$

Daraus folgt, dass in einem Material mit einer Brechzahl von n = 2 die Phasengeschwindigkeit des Lichts in diesem Material genau die Hälfte der Vakuumlichtgeschwindigkeit beträgt, d. h. 149.896,229 km/s.

Aus historischen Gründen ist auch üblich, bei hoher Brechzahl von einem „optisch dichten Medium“ bzw. bei niedriger Brechzahl von einem „optisch dünnen Medium“ zu sprechen. Dieser Begriff einer optischen Dichte darf aber weder mit der mechanischen Dichte noch mit der Farbdichte oder Extinktion verwechselt werden.

Physikalische Grundlagen

Verlauf der wellenlängenabhängigen komplexen Brechzahl im visuellen Bereich für einen Halbleiter mit Bandübergängen in diesem Bereich

Einfluss der komplexen Brechzahl eines Materials (n₁ + ik₁ auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material

Die Bezeichnung „Brechzahl“ kommt vom Begriff Brechung und seinem Auftreten im snelliusschen Brechungsgesetz. Zusätzlich hat diese physikalische Größe keine Einheit und ist somit eine dimensionslose Zahl. Sie kann auch als komplexe Zahl angegeben werden:

$N(\omega) = n'(\omega) + \mathrm i \, n''(\omega) = n(\omega) + \mathrm i \, k(\omega) = n (\omega) \left[ 1 + \mathrm i \, \kappa(\omega) \right]$

wobei n(ω) die Lichtgeschwindigkeit im Medium gemäß c = c₀ / n festlegt, ω die Kreisfrequenz (2π·Frequenz) der Strahlung, k(ω) = n''(ω) der wellenlängenabhängige Extinktionskoeffizient und κ(ω) der wellenlängenabhängige Absorptionsindex des Materials ist. Über ihn ist es möglich, die Extinktion, also die Schwächung von Strahlung beim Durchgang durch Materie zu beschreiben.

Die Brechzahl ist frequenz- und damit auch wellenlängenabhängig. Dieser als Dispersion bezeichnete Effekt ermöglicht beispielsweise die Zerlegung von weißem Licht in seine Spektralfarben an einem Prisma. Die Frequenzabhängigkeit der (komplexen) Brechzahl in Materie kann recht gut über das Modell des Lorentz-Oszillators beschrieben werden.

Eine in das Medium in z-Richtung eindringende Welle (Wellenvektor $\vec{k}=k\,\hat{e}_z$) klingt gemäß exp( − n''ωz / c₀) exponentiell ab. Ersetzt man in

$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{i\left[ \vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t \right]}=\vec{E}_{0}e^{i\left[ kz-\omega t \right]}$

die Kreiswellenzahl, die dem Betrag des Wellenvektors entspricht $k=|\vec{k}|$ (Vorsicht: Verwechslungsgefahr mit dem Extinktionskoeffizienten k = n''), mit

$k=\frac{\omega }{c_{0}}N=\frac{\omega }{c_{0}}(n'+\mathrm i n'' )$,

so erhält man das abklingende Verhalten (evaneszente Welle):

$\vec{E}=\vec{E}_{0}e^{\mathrm i\left[ (n'+\mathrm i n'' )\frac{\omega }{c_{0}}z-\omega t \right]}=\vec{E}_{0}e^{- n'' \frac{\omega}{c_{0}}z}e^{\mathrm i\left[n'\frac{\omega }{c_{0}}z-\omega t \right]}$

Absorptionskoeffizienten und -index

Man betrachtet weiterhin obige evaneszente Welle. Die Intensität $I\propto|E|^2$ nimmt also exponentiell ab

$I=I_{0}\,e^{-2 n'' \frac{\omega}{c_{0}} z}=I_{0}\,e^{-\alpha z}$

Dabei wurde der Absorptionskoeffizient $\alpha = 2 n'' \frac{\omega}{c_{0}}$ eingeführt.

Oft wird der Extinktionskoeffizient n'' fälschlicherweise mit dem Absorptionskoeffizienten α oder dem Absorptionsindex κ gleichgesetzt. Sie lassen sich jedoch ineinander umwandeln, es gilt:

$\frac{\alpha c_0}{2\omega}= n'' = n\kappa$

wobei c₀ die Vakuumlichtgeschwindigkeit und ω = 2πν die Kreisfrequenz des Lichtes ist.

Permittivitätszahl

Die komplexe Brechzahl ist mit der Permittivitätszahl (dielektrische Funktion) $\varepsilon_r$ und der Permeabilitätszahl μ_r verknüpft.

$N=\sqrt{\varepsilon_r \mu_r }$

Dabei sind alle Größen im Allgemeinen komplex und frequenzabhängig.

Wenn man die Wellenlängenabhängigkeit (Dispersion) der Brechzahl eines Materials theoretisch ermitteln will, geht man über die elektrische Suszeptibilität, die die Beiträge der verschiedenen Mechanismen im Material zu den Eigenschaften erfasst und in der komplexen Permittivität mündet. Im Fall von nichtmagnetischen Material ist $\mu_r \approx 1$ und die komplexe Brechzahl kann direkt aus Real- ($\varepsilon_1$) und Imaginärteil ($\varepsilon_2$) der Permittivitätszahl angegeben werden:

$N=\sqrt{\varepsilon_r }=\sqrt{{\varepsilon }_{1}+\mathrm i{\varepsilon }_{2}}$

Hieraus kann man die Größen n und k berechnen:

$n^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{{\varepsilon_1}^2 + {\varepsilon_2}^2} + \varepsilon_1\right)$

$k^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{{\varepsilon_1}^2 + {\varepsilon_2}^2} - \varepsilon_1\right)$

Gruppenbrechzahl

Betrachtet man das Verhältnis der Gruppengeschwindigkeiten von Licht im Vakuum zu dem im Medium, so ergibt sich die Gruppenbrechzahl:

$n_\mathrm{g} = \frac{c_0}{c_\mathrm{g}}$

Andere Definitionen

Brechung

Die Definition der Brechzahl erfolgte oben strahlenphysikalisch – über die verschiedenen Lichtgeschwindigkeiten. Diese Gleichung ist elegant, aber für unlängst entdeckte Meta-Materialien untauglich, da in diesen negative Brechzahlen n auftreten. Dies ist mit dieser Definition unmöglich.

Doch lässt sich die Brechung auch auf drei anderen Wegen definieren:

• über das fermatsche Prinzip, nach welchem das Licht zwischen zwei Punkten jenen Weg zurücklegt, für den es einen Extremwert der Zeit benötigt,
• über das huygens-fresnelsche Prinzip, das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der sogenannten Elementarwelle, betrachtet werden kann und
• über die Strahlenoptik. Nach dem erwähnten Snellius-Brechungsgesetz entspricht n dem Sinus-Verhältnis von Einfallswinkel und gebrochenem Winkel. Dabei wird der Winkel des einfallenden als auch der des gebrochenen Lichtstrahls jeweils auf das Lot bezüglich der Grenzfläche bezogen.

Brechzahl der Luft und anderer Stoffe

Brechzahlen für sichtbares Licht

Material	Brechzahl nD (bei 589 nm)
Vakuum	exakt 1
Luft (bodennah)	1,000292
Plasma	0 … 1
Caesium [1]	0,35
Aerogel	1,007 … 1,24
Eis	1,31
Wasser	1,33
menschl. Augenlinse	1,35 … 1,42
Ethanol[2] (liqu.)	1,3614
Magnesiumfluorid	1,38
Flussspat (Calciumfluorid)	1,43
menschliche Epidermis	1,45
Tetrachlorkohlenstoff (liqu.)	1,46
Quarzglas	1,46
Celluloseacetat (CA)	1,48
PMMA (Plexiglas™)	1,49
Benzol (liqu.)	1,49
Kronglas	≈ 1,46 … 1,65
Mikroskopische Deckgläser	1,523
COC (ein Kunststoff)	1,533
PMMI (ein Kunststoff)	1,534
Quarz	1,54
Halit (Steinsalz)	1,54
Polystyrol (PS)	1,58
Polycarbonat (PC)	1,585
Epoxidharz	≈ 1,55 … 1,63
Flintglas	≈ 1,56 … 1,93
Kohlenstoffdisulfid (liqu.)	1,63
Diiodmethan (liqu.)	1,742
Rubin (Aluminiumoxid)	1,76
Glas	1,45 … 2,14
Bleikristall	bis 1,93
Zirkon	1,92
Schwefel	2,00
Zinksulfid [2]	2,37
Diamant	2,42
Titandioxid (Anatas)	2,52
Siliciumcarbid	2,65 … 2,69
Titandioxid (Rutil)	3,10
Bleisulfid (PbS, 590 nm)	3,90

Die Brechzahl der Luft beträgt auf Meeresniveau durchschnittlich 1,00029. Sie hängt ab von der Dichte und der Temperatur der Luft sowie von der speziellen Zusammensetzung der Luft – insbesondere der Luftfeuchtigkeit. Da die Luftdichte nach oben – entsprechend den Gasgesetzen in einem Schwerefeld – exponentiell abnimmt, siehe barometrische Höhenformel, beträgt sie in etwa 8 km Höhe nur mehr 1,00011. Dennoch werden die von Sternen kommenden Lichtstrahlen in Horizontnähe um 0,6° gehoben und in 45° noch um 0,017°. Der Effekt heißt astronomische Refraktion und beeinflusst in ähnlicher Art auch jede terrestrische Vermessung.

Da wie in der Einleitung beschrieben die Brechzahl jedes Materials von der Wellenlänge des einfallenden Lichts abhängt – gilt auch bei elektromagnetischen Strahlungen anderer Wellenlängebereiche – wäre es notwendig, diese auch wellenlängenabhängig (tabellarisch oder als Funktion) anzugeben. Da dies aber für viele einfache Anwendungen nicht notwendig ist, wird die Brechzahl üblicherweise für die Wellenlänge der Natrium-D-Linie (589 nm) angegeben.

Messung der Brechzahl

Zur experimentellen Bestimmung der Brechzahl eines Mediums mit $\mu_{r2}\ (\mbox{med})=\mu_{r1}\ (\mbox{Luft})$ (z.B. nicht magnetisch) n_med kann man z. B. den Brewster-Winkel beim Übergang von Luft in dieses Medium messen. Für diesen Fall gilt $\tan (\alpha_{\rm Brewster}) = \frac{n_{\rm med}}{n_{\rm Luft}} \approx n_{\rm med}$. Für die Messung wird ein Refraktometer angewandt.

Anwendung

In der Chemie wird die Brechzahl bei einer bestimmten Temperatur oft eingesetzt, um flüssige Substanzen zu charakterisieren. Die Temperatur, bei der die Brechzahl bestimmt wurde, wird dabei dem Symbol für die Brechzahl angefügt, für 20 °C z. B. $n_D^{20}$.

Die Bestimmung der Brechzahl erlaubt eine einfache Bestimmung des Gehaltes einer bestimmten Substanz in einem Lösungsmittel:

• Zucker in Wein, siehe Grad Brix und Grad Oechsle
• Harz in Lösungsmittel
• Gefrierschutzmittel in Verbrennungsmotoren oder in thermischen Solaranlagen

Mikroprozessoren werden mittels Photolithographie hergestellt. Die Ätzmaske wird dabei durch ultraviolettes Licht einer Wellenlänge von 193 Nanometern übertragen. Normalerweise sind die kleinstmöglichen Abmessungen durch die halbe Wellenlänge begrenzt. Durch Einsatz von Flüssigkeiten mit einer Brechzahl von 1,6 gelingt es Entwicklern bei IBM, ein Gitter paralleler Linien einer Dicke von nur 29,9 Nanometern zu erzeugen. Dadurch ist bei der Chipherstellung eine zukünftige weitere Steigerung unter Verwendung der gleichen Lichtquelle möglich.^[3][4]

Zusammenhang von Brechzahl und atomaren Aufbau des Materials

Die Brechzahl eines Material hängt direkt mit seinem atomaren Aufbau zusammen. Der Grad der Kristallinität und das Kristallgitter eines Festkörpers wirken sich auf dessen Bandstruktur und somit auf Brechzahl aus. Im sichtbaren Spektrum zeigt sich dies beispielsweise bei der Verschiebung der Bandlücke. Durch einen anisotropen Kristallaufbau können zusätzlich Effekte wie die Doppelbrechung entstehen, bei dem das Material für unterschiedlich polarisiertes Licht abweichende Brechzahlen besitzt.

Beziehung zwischen Brechzahl und Dichte für Silikat- und Borosilikatgläser.^[5]

Bei teilkristallinen oder amorphen Materialien hat der atomare Aufbau ebenfalls deutlichen Einfluss auf die Brechzahl. So erhöht sich in der Regel die Brechzahl von Silikat- und Borosilikatgläsern mit ihrer Dichte. Zum Beispiel haben Bleisilikatgläser mit hoher Dichte auch eine hohe Brechzahl. Es gilt jedoch zu beachten, dass trotz des allgemeinen Trends die Beziehung zwischen Brechzahl und Dichte nicht immer linear ist und dass Ausnahmen auftreten, wie rechts im Diagramm dargestellt. Eine relativ hohe Brechzahl und niedrige Dichte kann man mit Gläsern erhalten, die leichte Metalloxide wie Li₂O oder MgO enthalten, während das Gegenteil mit PbO- und BaO-haltigen Gläsern erreicht wird.

Negative Brechzahlen

1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. In der populärwissenschaftlichen Literatur findet man zu diesem Thema immer wieder die Aussage „Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen“^[6] (Die Einschränkungen dagegen werden praktisch nie erwähnt: Die Linse muss sich im Nahfeld (für Licht: <1 µm) des Objekts befinden, damit die evaneszente Welle noch nicht zu stark abgeklungen ist. Wenn es je Anwendungen für solche Metamaterialien geben wird, dann wird dies in der Mikroskopie sein. Ein verwandtes Verfahren ist die optisches Rasternahfeldmikroskopie, die auf einem ähnlichen Grundprinzip (direkte Auswertung der evaneszente Welle) beruht).

Forschern um S. Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt. Ob und wann aber ein Material hergestellt werden kann, das auch im optischen Bereich derartige Eigenschaften hat, war bis vor kurzem noch völlig unklar.^[7]

Im Oktober 2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Verbindung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff (YVO₄) auch ohne Weiterverarbeitung eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinandergeschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. In künftigen Experimenten wollen die Forscher weitere vermutete Eigenschaften der negativen Brechung prüfen – wie etwa die Umkehrung des Dopplereffekts und der Tscherenkow-Strahlung.^[8]

Auf der Märztagung 2007 der Amerikanischen Physikalischen Gesellschaft stellten Vladimir Shalaev und seine Kollegen von der Purdue-Universität ein Metamaterial mit negativer Brechzahl für Strahlung im nahen Infrarotbereich vor. Damit sind sie nahe am sichtbaren Spektrum. (vgl. ^[9])

Unter Verwendung von Metamaterial negativer Brechzahl ('linkshändiges Material') ist es 2007 Physikern um Ulf Leonhardt von der Universität St Andrews gelungen, den sogenannten Casimir-Effekt umzukehren (reverser Casimir-Effekt, auch Quanten-Levitation genannt). Dies eröffnet die Zukunftsperspektive auf eine (nahezu) reibungslose Nanotechnologie. ^{[10] [11]}

In fernerer Zukunft könnte die Herstellung perfekter Linsen gelingen, die kleinere Objekte als das Beugungslimit der Optik abbilden können. Einen ersten Schritt in diese Richtung machten Forscher um Prof. Xiang Zhang an der Uni Berkeley: Sie nutzten die in einem 35 Nanometer dünnen Silberfilm an der Grenzfläche zu PMMA auftretende negative Brechzahl, um ein Mikroskop zu bauen, das eine sechsfach höhere Auflösung besitzt als die Wellenlänge des zur Beobachtung verwendeten Lichts.^[12]

Literatur

• Michael Bass: Handbook of Optics Volume 1. Optical Techniques and Design:. 2. Auflage. Mcgraw-Hill Professional, 1994, ISBN 007047740X. 

Quellen und Fußnoten

1. ↑ H. Steffen, H. Mayer: Optische Eigenschaften dünner Cäsium-Schichten im Wellenlängenbereich von 0,3 bis 0,9 μ und ihr elektrischer Widerstand. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 254, Nr. 3, 1. Mai 1972, S. 250-268 (doi:10.1007/BF01379784) (Stand: 2008-02-09). 
2. ↑ ^{a b} Lide, David R.: CRC handbook of chemistry and physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 87. Aufl. Boca Raton Fla. : CRC Taylor & Francis, 2006 – ISBN 0-8493-0487-3
3. ↑ IBM beats optical lithography limits (Technology News in optics.org vom 22. Februar 2006)
4. ↑ Stefan Maier: Photolithographie ist noch lange nicht am Ende. (Newsticker wissenschaft.de vom 28. Februar 2006)
5. ↑ Glassproperties.com Berechnung der Brechzahl von Gläsern (in englischer Sprache)
6. ↑ Victor G. Veselago: The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of ε and μ. In: Sov. Phys. Usp. 10, Nr. 4, 1968, S. 509-514 (doi:10.1070/PU1968v010n04ABEH003699). 
7. ↑ C. Kusko, Z. Zhai, N. Hakim, R. S. Markiewicz, S. Sridhar, D. Colson, V. Viallet-Guillen, A. Forget, Yu. A. Nefyodov, M. R. Trunin, N. N. Kolesnikov, A. Maignan, A. Daignere, A. Erb: Anomalous microwave conductivity due to collective transport in the pseudogap state of cuprate superconductors. In: Physical Review B. 65, Nr. 13, 6. Februar 2002, S. 132501 (doi:10.1103/PhysRevB.65.132501). 
8. ↑ Yong Zhang, B. Fluegel, A. Mascarenhas: Total Negative Refraction in Real Crystals for Ballistic Electrons and Light. In: Physical Review Letters. 91, Nr. 15, 9. September 2003, S. 157404 (doi:10.1103/PhysRevLett.91.157404). 
9. ↑ V. M. Shalaev: Optical negative-index metamaterials. In: Nat. Photonics. 1, 2007, S. 41-48 (doi:10.1038/nphoton.2006.49). 
10. ↑ Rainer Scharf: Bisweilen stößt das Nichts auch ab. In: Frankfurter Allgemeine Zeitung. 11, 14. Januar 2009, S. N1. 
11. ↑ Ulf Leonhardt et al: Quantum levitation by left-handed metamaterials. In: New J. Phys. 9, 2007, S. 254 (doi:10.1088/1367-2630/9/8/254) ([1]). 
12. ↑ H. Lee, Y. Xiong, N. Fang, W. Srituravanich, S. Durant, M. Ambati, C. Sun, X. Zhang: Realization of optical superlens imaging below the diffraction limit. In: New J. Phys. 7, 2005, S. 255 (doi:doi:10.1088/1367-2630/7/1/255) ([2]). 

Weblinks

• Negative Brechzahl bei Mikrowellen
• Spezieller Kristall mit negativer Brechzahl
• Metamaterial mit negativer Brechzahl im nahen Infrarotbereich
• Left Handed Material at Work
• Brechzahlen verschiedener Glassorten
• dynamische Arbeitsblätter zum Thema „Brechung und Totalreflexion“
• The speed of light is not violated by negative refraction
• Brechzahlmeßstand der Firma Carl Zeiss
• RefractiveIndex.INFO - Datenbank für Brechzahlen