Lemma von Itô

Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. Es ist die Kettenregel aus der Differentialrechnung für stochastische Prozesse.

Voraussetzung

Sei $(W_t), t \ge 0$ eine (Standard-)brownsche Bewegung. Ein stochastischer Prozess $(X_t),t \ge 0$ heißt Itō-Prozess, falls

$X(t)= X(0)+\int_0^t f(s,X_s){\rm d}s+\int_0^t g(s,X_s){\rm d}W_s$ für zwei Funktionen f,g gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

dX_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t.

Das Lemma

Das Lemma von Itō besagt: Ist $h:\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine in der ersten Komponente einfach und in der zweiten zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auch Y_t: = h(t,X_t) ein Itō-Prozess, und es gilt

${\rm d}Y_t= \left(\frac{\partial h(t,X_t)}{\partial X} f(t,X_t) + \frac{\partial h(t,X_t)}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h(t,X_t)}{\partial X^2}g^2(t,X_t)\right){\rm d}t+\frac{\partial h(t,X_t)}{\partial X}g(t,X_t) {\rm d}W_t$.

Ein Beispiel

Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung

$S_t=a e^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}$

das stochastische Anfangswertproblem von Black und Scholes

${\rm d}S_t=r S_t {\rm d}t+ \sigma S_t {\rm d}W_t,\; S_0=a$

löst: hierzu wählt man X_t = W_t, also $f(t,W_t)=0,\; g(t,W_t)=1$.

Dann ergibt das Lemma (mit h = S):

${\rm d}S_t=\left[\left(r-0.5 \sigma^2+\frac{\sigma^2}{2}\right)ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]{\rm d}t+\left[\sigma ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]{\rm d}W_t =rS_t {\rm d}t+\sigma S_t {\rm d}W_t$.