Lemma von Itō

Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. Es ist die Kettenregel aus der Differentialrechnung für stochastische Prozesse.

Voraussetzung

Sei $W_t, t \ge 0$ ein (Standard-)Wiener-Prozess. Ein stochastischer Prozess $X_t, t \ge 0$ heißt Itō-Prozess, falls

$X_t = X_0+\int_0^t f(s,X_s){\rm d}s+\int_0^t g(s,X_s){\rm d}W_s$

für zwei Funktionen f,g gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

${\rm d}X_t=f(t,X_t){\rm d}t+g(t,X_t){\rm d}W_t \!$.

Das Lemma

Das Lemma von Itō besagt: Ist $h:\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine in der ersten Komponente einfach und in der zweiten zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auch $Y_t :=h(t,X_t)\!$ ein Itō-Prozess, und es gilt

${\rm d}Y_t= \left(\frac{\partial h(t,X_t)}{\partial X} f(t,X_t) + \frac{\partial h(t,X_t)}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 h(t,X_t)}{\partial X^2}g^2(t,X_t)\right){\rm d}t+\frac{\partial h(t,X_t)}{\partial X}g(t,X_t) {\rm d}W_t$.

Ein Beispiel

Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung

$S_t=a e^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}$

das stochastische Anfangswertproblem von Black und Scholes

${\rm d}S_t=r S_t {\rm d}t+ \sigma S_t {\rm d}W_t,\; S_0=a$

löst: hierzu wählt man X_t = W_t, also $f(t,W_t)=0,\; g(t,W_t)=1$.

Dann ergibt das Lemma (mit h = S):

${\rm d}S_t=\left[\left(r-0.5 \sigma^2+\frac{\sigma^2}{2}\right)ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t} \right]{\rm d}t+\left[\sigma ae^{rt-0.5 \sigma^2 t +\sigma W_t}\right]{\rm d}W_t =rS_t {\rm d}t+\sigma S_t {\rm d}W_t$.

Version für Semimartingale

Sei $X_t=(X_t^1,...,X_t^d)$ ein Vektor im $\R^d$ von Semimartingalen und sei $F\in C^2(\R^d,\R)$. Dann ist F(X_t) wieder ein Semimartingal und es gilt

$\begin{align} F(X_t)-F(X_0)= & \sum_{j=1}^d \int_0^t \frac{\partial F}{\partial X^j}(X_{s-}){\rm d}X_s^j + \frac{1}{2} \sum_{j,k=1}^d \int_0^t\frac{\partial^2 F}{\partial X^j \partial X^k}(X_{s-}) {\rm d}[X^j,X^k]^c_s\\ &{}+ \sum_{0<s\leq t}\left( F(X_s)-F(X_{s-}) - \sum_{j=1}^d \frac{\partial F}{\partial X^j}(X_{s-}) \Delta X_s^j \right). \end{align}$

Literatur

• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations(2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.