Linearisierung durch Ausgangsrückführung

Die Idee beim Regelungsentwurf durch globale Linearisierung besteht darin, eine geeignete Rückführung zu finden, die ein nichtlineares System linearisiert und damit eine Regelung vereinfacht. Zumeist wird dazu der Ausgang zurück geführt, weshalb die Methode auch als Linearisierung durch Ausgangsrückführung bekannt ist.

Nichtlineare Regelstrecken in Zustandsraumdarstellung:

$\dot{x_1} = x_2$

$\dot{x_2} = x_3$

. . .

$\dot{x_n} = f(x_1,\cdots ,x_n)+b(x_1,\cdots ,x_n)u$

können durch eine Rückführung

$u = \frac{1}{b(x_1,\cdots ,x_n)}(v-f(x_1,\cdots ,x_n))$

linearisiert werden. Wird die Zustandsrückführung

$v=-k_1 x_1-k_2 x_2- \cdots -k_n x_n\;$

als Regler gewählt, lautet die linearisierte Regelstrecke

$\dot{x_1} = x_2$

$\dot{x_2} = x_3$

. . .

$\dot{x_n} =-k_1 x_1-k_2 x_2- \cdots -k_n x_n\;$.

Die Regelstrecke ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Systemmatrix negativen Realteil haben.

Beispiel: Van-der-Pol-System

Ein Van-der-Pol-System wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:

$\ddot{x} + \epsilon (x^2-1)\dot{x} + x = u$

Nach Umschreiben in die kanonische Steuerbarkeitsnormalform mit $x_1=x\;$, $\dot{x_1}=\dot{x}=x_2$ und $\dot{x_2}=\ddot{x}$ erhält man

$\dot{x_1}=x_2$

$\dot{x_2}=\epsilon (1-x_1^2)x_2-x_1+u = f(x_1,x_2)+b(x_1,x_2) u$.

Damit ist

$f(x_1,x_2)=\epsilon (1-x_1^2) x_2-x_1$ und

$b(x_1,x_2)=1\;$ und somit die Rückführung

$u = -\epsilon (1-x_1^2) x_2 +x_1+v$.

Die linearisierte Zustandsraumdarstellung lautet somit

$\dot x_1=x_2$

$\dot x_2=-k_1 x_1-k_2 x_2$.

Die zugehörige homogene, lineare Differentialgleichung ist

$\ddot x+k_2\dot x+k_1 x=0$.