Lorentzform

Die Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: γ im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und x₀ entspricht t.

Die Cauchy-Lorentz-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy und Hendrik Antoon Lorentz) ist eine stetige, leptokurtische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Während die Verteilung in der Stochastik als Cauchy-Verteilung bezeichnet wird, ist sie in der Physik als Lorentz-Verteilung bzw. Lorentz-Kurve oder Lorentz-Linie (z. B. in der Spektroskopie zur Beschreibung der Gestalt von Spektrallinien) oder als Breit-Wigner-Verteilung (z. B. zur Beschreibung von Resonanzkurven) bekannt.

Definition

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}$

mit s > 0 und $-\infty<t<\infty$ besitzt.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

$F(x) = P(X < x)= F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right)$.

Mit dem Zentrum t = 0 und dem Breitenparameter s = 1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad

$f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$.

Eigenschaften

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente

Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind. Dementsprechend besitzt sie auch keine Momente oder momenterzeugende Funktion.

Median, Modus

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei t und den Modus ebenfalls bei t.

Entropie

Die Entropie beträgt $\log(4\,\pi\, s)$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist $y \mapsto \exp(ity - s|y|)$.

Reproduktivität

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert $(X_1+X_2+\dots +X_n)/n$ aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber Faltung

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite Γ_a mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite Γ_b ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite Γ_c.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Lévy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter α = 1.

Beziehung zur Normalverteilung

Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zu Students t-Verteilung

Für n = 1 und mit $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Studentschen t-Verteilung.

Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung cauchyverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion F(x) lautet hierbei F ^{− 1}(y) = tan(πy). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen u_i lässt sich daher eine Folge x_i: = tan(πu_i) cauchyverteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur

• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons, 1968, ISBN 0471257087. 
• William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0471257095. 

Weblinks

• Universität Konstanz – Interaktive Animation

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli-Verteilung | Binomialverteilung | Kategoriale | Hypergeometrische Verteilung | Rademacher | Zipfsche | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | Negative Binomialverteilung | Erweiterte negative Binomial | Compound Poisson | Diskret uniform | Discrete phase-type | Gauss-Kuzmin | Geometrische | Logarithmische | Parabolisch-fraktale | Poisson | Skellam | Yule-Simon | Zeta

 

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Kumaraswamy | Raised Cosine | Dreiecks | U-quadratisch | Stetige Gleichverteilung | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
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Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | Exponential Power | Fisher’s z | Fisher-Tippett (Gumbel) | Generalized Hyperbolic | Hyperbolic Secant | Landau | Laplace | Alpha stabile | logistisch | Normal (Gauss) | Normal-inverse Gausssche | Skew normal | Studentsche t | Type-1 Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

 

Multivariate Verteilungen

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Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart